Para cada função
, determine as derivadas de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede: “Para cada função
, determine as derivadas de primeira ordem” e nos dá a função
Informações relevantes que temos:
- A função é a soma de dois termos: o primeiro é
e o segundo é . - Precisamos calcular a derivada de primeira ordem
. - Observação importante: a função não está definida em
(porque aparece divisão por ), então devemos ficar atentos ao domínio ao final.
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
, então . - Regra do múltiplo constante: se temos uma constante
multiplicando uma função , então . - Regra da potência (power rule): para qualquer número real
, a derivada de em relação a é
Explicando a regra da potência de forma intuitiva: multiplicamos pela potência atual
e diminuímos a potência em uma unidade. Por exemplo, a derivada de
é
; a derivada de
é
.
Passo 3
Primeiro passo prático: escrever o segundo termo com expoente negativo para aplicar a regra da potência com facilidade. Reescrevemos
Assim a função fica
Passo 4
Agora aplicamos as regras termo a termo (regra da soma e regra da potência com múltiplo constante).
Derivada do primeiro termo
:
Derivada do segundo termo
: aplicamos a constante
multiplicando a derivada de
.
Passo 5
Interpretação das formas encontradas e observação sobre o domínio:
- A derivada do segundo termo
pode ser escrita como fração para ficar mais “familiar”:
- Lembrando que tanto a função original quanto sua derivada não estão definidas em
.
Passo 6
Como dica prática para a prova: sempre reescreva potências com expoentes inteiros (inclusive negativos) antes de derivar; aplique primeiro a regra da potência a cada termo e só então some os resultados. Se quiser apresentar o resultado como fração, converta os expoentes negativos ao final.