Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem:
f(x)=x^{2}+\frac{3}{x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede: “Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem” e nos dá a função
f(x)=x^{2}+\frac{3}{x^{5}}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é a soma de dois termos: o primeiro é x^{2} e o segundo é \dfrac{3}{x^{5}}.
  • Precisamos calcular a derivada de primeira ordem f'(x).
  • Observação importante: a função não está definida em x=0 (porque aparece divisão por x^{5}), então devemos ficar atentos ao domínio ao final.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x), então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do múltiplo constante: se temos uma constante c multiplicando uma função h(x), então \big(c\cdot h(x)\big)'=c\cdot h'(x).
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real n, a derivada de x^{n} em relação a x é
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Explicando a regra da potência de forma intuitiva: multiplicamos pela potência atual n e diminuímos a potência em uma unidade. Por exemplo, a derivada de x^{3} é 3x^{2}; a derivada de x^{-2} é -2x^{-3}.

Passo 3

Primeiro passo prático: escrever o segundo termo com expoente negativo para aplicar a regra da potência com facilidade. Reescrevemos
\frac{3}{x^{5}} = 3\,x^{-5}.
Assim a função fica
f(x)=x^{2}+3\,x^{-5}.

Passo 4

Agora aplicamos as regras termo a termo (regra da soma e regra da potência com múltiplo constante).
Derivada do primeiro termo x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2\,x^{1}=2x.
Derivada do segundo termo 3\,x^{-5}: aplicamos a constante 3 multiplicando a derivada de x^{-5}.
\frac{d}{dx}\big(3\,x^{-5}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-5}\big)=3\cdot(-5)\,x^{-6}=-15\,x^{-6}.

Passo 5

Interpretação das formas encontradas e observação sobre o domínio:
  • A derivada do segundo termo -15\,x^{-6} pode ser escrita como fração para ficar mais “familiar”:
-15\,x^{-6} = -\frac{15}{x^{6}}.
  • Lembrando que tanto a função original quanto sua derivada não estão definidas em x=0.

Passo 6

Como dica prática para a prova: sempre reescreva potências com expoentes inteiros (inclusive negativos) antes de derivar; aplique primeiro a regra da potência a cada termo e só então some os resultados. Se quiser apresentar o resultado como fração, converta os expoentes negativos ao final.

Resposta

f'(x)=2x-\frac{15}{x^{6}}

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