Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade. f(x) = |x - 1| + |2 - x| + |x - 3|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . Vamos precisar usar conceitos de limites, interceptos com os eixos, assíntotas e continuidade. Basicamente, vamos descobrir como essa função se comporta e quais são suas principais características para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função. Ela é composta por três valores absolutos: , e . Os valores absolutos fazem com que a função mude de comportamento em determinados pontos, chamados de pontos críticos. Vamos identificar esses pontos antes de tudo.

Passo 3

Os pontos onde cada valor absoluto muda de comportamento são:
  • Para , o ponto crítico é .
  • Para , o ponto crítico é .
  • Para , o ponto crítico é .
Então, temos que analisar a função em três intervalos diferentes: , , e .

Passo 4

Vamos calcular em cada intervalo:
  1. Para :
    Então, .
  2. Para :
    Então, .
  3. Para :
    Então, .
  4. Para :
    Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos:
  • Intercepto com o eixo Y (quando ):
    Então, o intercepto com o eixo Y é .
  • Interceptos com o eixo X (quando ):
    Vamos resolver .
    Observando a função , vemos que a soma de valores absolutos será sempre positiva ou zero. Para que seja zero, cada termo dentro dos valores absolutos deve ser zero:
    No entanto, não existe um que satisfaça as três equações ao mesmo tempo. Portanto, a função não intercepta o eixo X.

Passo 6

Vamos verificar se existem assíntotas horizontais ou verticais:
  • Assíntotas verticais:
    Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. Como estamos lidando com uma função composta por valores absolutos, que são funções contínuas e não têm divisões por zero, não existem assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais:
    Observando os limites quando tende ao infinito:
    Como ambos os limites tendem ao infinito, não existem assíntotas horizontais.

Passo 7

Vamos discutir a continuidade da função :
Funções compostas por valores absolutos são contínuas em todo o seu domínio, a menos que haja uma divisão por zero ou outra descontinuidade. No nosso caso, não há tais situações, então a função é contínua em todos os valores de .

Passo 8

Agora, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Interseção com o eixo Y:
  • Pontos críticos onde a função muda de comportamento: , ,
  • Expressões da função em cada intervalo:
    • :
    • :
    • :
    • :
  • Sem interceptos com o eixo X e sem assíntotas

Resposta

O gráfico da função é contínuo em todo o domínio, sem interceptos com o eixo X e sem assíntotas. Ele intersecta o eixo Y no ponto e muda de inclinação nos pontos , e . As expressões lineares em cada intervalo determinam as partes do gráfico, formando um polígono com vértices nesses pontos críticos.

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