Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo: integral0^1 / 2 arctg x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando séries de potências. Nosso objetivo é aproximar o valor dessa integral com quatro casas decimais. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função e adaptá-la para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 em torno de 0 é:
arctan(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+22n+1
Essa série converge para . Queremos adaptar essa série para , substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série termo a termo de 0 a integral0^1/2 arctan(x^2) , dx = integral0^1/2 sumn=0^infty (-1)^n x^4n+22n+1 , dx = sumn=0^infty (-1)^n 12n+1 integral0^1/2 x^4n+2 , dx :

Passo 4

Calculando a integral de cada termo:
integral0^1/2 x^4n+2 , dx = [ x^4n+34n+3 ]0^1/2 = (1/2)^4n+34n+3
Substituindo de volta na série:
integral0^1/2 arctan(x^2) , dx = sumn=0^infty (-1)^n (1/2)^4n+3(2n+1)(4n+3)

Passo 5

Vamos calcular os primeiros termos da série até que a contribuição adicional seja menor que (1/2)^31 cdot 3 = 1/83 = 124 approx 0,0416667 , garantindo assim a precisão de quatro casas decimais.
Para -(1/2)^73 cdot 7 = -1/12821 approx -0,0003725 :
(1/2)^115 cdot 11 = 1/204855 approx 0,0000089
Para :
Para :
Como o terceiro termo já é menor que , podemos parar aqui.

Resposta

A aproximação da integral é .

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