Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos uma série de potências que represente a função
e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a função de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica. A fórmula da série geométrica é:
Nossa função
pode ser manipulada para se assemelhar a essa forma. Vamos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora que temos
, podemos aplicar a série geométrica. Substituindo
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a série de potências para
:
Podemos reindexar a série para simplificar:
Passo 4
Para determinar o raio de convergência, lembramos que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então a condição para convergência é:
Portanto, o raio de convergência
é 1.
Resposta
A série de potências que representa
é:
E o raio de convergência dessa série é
.