Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar f(x) e especifique o raio de convergência f(x) = x / (2 - 2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos uma série de potências que represente a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a função de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica. A fórmula da série geométrica é:
Nossa função pode ser manipulada para se assemelhar a essa forma. Vamos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora que temos , podemos aplicar a série geométrica. Substituindo , temos:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos a série de potências para :
Podemos reindexar a série para simplificar:

Passo 4

Para determinar o raio de convergência, lembramos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então a condição para convergência é:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de potências que representa é:
E o raio de convergência dessa série é .

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