Para cada função a seguir, calcule a taxa de variação média de f no intervalo indicado:
f(x)=e^{x}, no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede: calcular a taxa de variação média de f no intervalo dado.
Informações fornecidas:
\;f(x)=e^{x}.
\;Intervalo: [0,1].
Pergunta explícita: qual é a taxa de variação média de f em [0,1]?

Passo 2

Vamos lembrar o que é “taxa de variação média” de uma função num intervalo. Pense assim, como numa reta: a inclinação (ou “slope”) mede quanto a ordenada sobe por unidade que a abscissa anda — isto é, “subida dividido pela corrida” (rise/run). Para uma função geral f entre x=a e x=b a fórmula padrão é
\text{taxa média}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.é
Aqui f(b)-f(a) é quanto a função mudou (variação em y) e b-a é o comprimento do intervalo em x. Essa fração dá a variação média por unidade de x.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: a=0 e b=1. Primeiro calcule f(0) e f(1).
Calcule f(0):
f(0)=e^{0}=1,
pois qualquer número (não nulo) elevado a zero vale 1.
Calcule f(1):
f(1)=e^{1}=e.
Aqui e é a constante de Euler (aproximadamente 2{,}71828\ldots), mas podemos trabalhar simbolicamente com e.

Passo 4

Agora use a fórmula da taxa média:
\text{taxa média}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{e-1}{1}=e-1.é

Passo 5

Interpretação: \;e-1 é a subida média de f(x)=e^{x} por unidade de x no intervalo [0,1]. Numericamente, como e\approx2{,}71828, temos
e-1\approx1{,}71828,
ou seja, em média a função cresce cerca de 1{,}71828 unidades de y para cada unidade de x nesse intervalo.

Resposta

e-1

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