Para cada função a seguir, calcule a taxa de variação média de f no intervalo indicado:
f(x)=x^{2}, no intervalo [1,3];

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=x^{2} e o intervalo fechado [1,3].
O que nos pedem: calcular a taxa de variação média de f no intervalo [1,3].
Informações relevantes dadas: f(x)=x^{2}, ponto inicial a=1 e ponto final b=3.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática): a taxa de variação média de uma função f no intervalo [a,b] é a razão entre a variação de f e a variação de x nesse intervalo. Em palavras: “quanto f muda, em média, quando x aumenta uma unidade”. A fórmula é
\text{Taxa média}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.é
Aqui a é o ponto inicial do intervalo, b é o ponto final, f(a) é o valor da função em a e f(b) é o valor da função em b. Geometricamente, isso é a inclinação (o declive) da reta secante que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) no gráfico de f. Um exemplo simples: se f fosse distância percorrida, essa razão seria a velocidade média.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=1 e b=3:
\text{Taxa média}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}.é

Passo 4

Calculemos f(1) e f(3):
f(1)=1^{2}=1,
f(3)=3^{2}=9.

Passo 5

Substituindo os valores na expressão da taxa média:
\text{Taxa média}=\frac{9-1}{3-1}.é

Passo 6

Efetuando as contas: o numerador é 9-1=8 e o denominador é 3-1=2. Logo
\text{Taxa média}=\frac{8}{2}=4.é

Passo 7

Observação extra (truque útil para provas): para f(x)=x^{2} e intervalo [a,b] temos a identidade
\frac{b^{2}-a^{2}}{b-a}=\frac{(b-a)(b+a)}{b-a}=b+a.
Ou seja, a taxa média de x^{2} em [a,b] é simplesmente a+b. Aplicando com a=1 e b=3 1+3=4, que confirma o resultado anterior. Isso é rápido de fazer sem muita conta na prova.

Passo 8

Interpretação final e incentivo: a taxa de variação média 4 significa que, entre x=1 e x=3, a função x^{2} cresce, em média, 4 unidades de f para cada unidade de x. Relaxa — esse tipo de conta é sempre a mesma receita: calcule f nas extremidades e aplique a fórmula. Você já pegou o jeito!

Resposta

4

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