Para cada função a seguir, calcule a taxa de variação média de f no intervalo indicado:
f(x)=\operatorname{sen} x, no intervalo [0, \pi / 2];

Passo 1

O enunciado pede: calcular a taxa de variação média de f no intervalo dado.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen} x.
  • O intervalo é [0,\tfrac{\pi}{2}].
  • A pergunta é: qual é a taxa de variação média de f nesse intervalo?

Passo 2

O que é “taxa de variação média”? Uma explicação passo a passo e bem prática: para uma função f em um intervalo [a,b], a taxa de variação média é a variação média do valor de f por unidade de x ao longo desse intervalo. A fórmula padrão é
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Aqui:
  • a é o ponto inicial do intervalo (onde começamos a medir),
  • b é o ponto final do intervalo (onde paramos),
  • f(a) e f(b) são os valores da função nesses pontos.
    Geometricamente, esse quociente é a inclinação da reta secante que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Pense nisso como "quanto em média a função sobe (ou desce) por cada unidade de x".

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui a=0 e b=\tfrac{\pi}{2}. Então a taxa de variação média é
\frac{f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-f(0)}{\tfrac{\pi}{2}-0}.

Passo 4

Agora precisamos dos valores f(0) e f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right). Usamos identidades trigonométricas básicas (valores conhecidos da função seno):
  • \operatorname{sen}0=0, porque no ângulo zero a componente vertical do ponto no círculo unitário é zero.
  • \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, porque em \tfrac{\pi}{2} (90°) a componente vertical é 1.
    Portanto f(0)=0 e f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do Passo 3:
\frac{1-0}{\tfrac{\pi}{2}-0}=\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}}.
Para simplificar uma divisão por fração, multiplicamos pelo inverso:
\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}.

Passo 6

Interpretação final (rápida e motivadora): a taxa de variação média de f(x)=\operatorname{sen} x em [0,\tfrac{\pi}{2}] é \tfrac{2}{\pi}. Isso significa que, em média, o seno aumenta cerca de \tfrac{2}{\pi} unidades de f para cada unidade de x nesse intervalo. Numericamente, \tfrac{2}{\pi}\approx 0,6366 (usei vírgula conforme costume português).

Resposta

\dfrac{2}{\pi}

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