Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
f(x, y)=\frac{1}{x-y}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • Pede-se o domínio e a imagem da função de duas variáveis f dada por
f(x,y)=\frac{1}{x-y}.
  • Informação explícita: a expressão tem um denominador x-y. Não há outras restrições dadas.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida como número real). Aqui a possível fonte de problema é divisão por zero: uma fração só está definida quando o denominador não é zero. Portanto precisamos garantir que x-y não seja zero.

Passo 3

Determinar a condição para o domínio (passo algébrico simples): exigir que o denominador seja diferente de zero dá
x-y \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \neq y.
Logo o domínio é o conjunto de todos os pares reais com x diferente de y.

Passo 4

Escrever o domínio em notação de conjuntos (forma final e clara):
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq y\}.
Interpretação geométrica (como esboçar): no plano (x,y) isso corresponde ao plano inteiro \mathbb{R}^2 com a linha reta diagonal \{(x,y):x=y\} retirada. Para esboçar: desenhe os eixos x e y, trace a reta \,x=y (linha a 45^\circ) e risque-a ou faça traço interrompido para indicar que os pontos sobre essa reta não pertencem ao domínio. As duas regiões abertas separadas por essa reta (onde x>y e onde x<y) pertencem ao domínio.

Passo 5

Conceito importante (explicação didática sobre imagem/contradomínio): a imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todos os valores reais z que f(x,y) pode assumir quando (x,y) varia pelo domínio. Então precisamos estudar quais valores z\in\mathbb{R} existem tais que haja (x,y) com f(x,y)=z.

Passo 6

Mostrar que 0 não pode ser imagem (prova direta): a equação
\frac{1}{x-y}=0
não tem solução real, porque o numerador é 1 (um número diferente de zero) e uma fração com numerador não nulo nunca é 0. Portanto 0\notin\text{Im}(f).

Passo 7

Mostrar que qualquer z\neq 0 é atingido (construção explícita, prova de surjectividade sobre \mathbb{R}\setminus\{0\}): escolha um valor fixo z\in\mathbb{R} com z\neq 0. Queremos (x,y) tais que
\frac{1}{x-y}=z.
Isso equivale a
x-y=\frac{1}{z}.
Para construir uma solução fácil podemos, por exemplo, tomar y=0 e então definir x=\dfrac{1}{z}. Como z\neq 0, esse x é bem definido e x\neq y, logo (x,y) está no domínio e produz f(x,y)=z. Assim todo z\neq 0 é realmente imagem de f. Observação adicional útil para prova de compreensão: quando x-y>0 temos f(x,y)>0; quando x-y<0 temos f(x,y)<0. Isso mostra também como os dois semiplanos (ao lado da linha x=y) correspondem a sinais diferentes dos valores de f.

Passo 8

Concluir sobre a imagem: pelos passos anteriores a imagem é exatamente todos os reais exceto 0, ou seja
\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq y\}
\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}

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