Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos:
- Pede-se o domínio e a imagem da função de duas variáveis
dada por
- Informação explícita: a expressão tem um denominador
. Não há outras restrições dadas.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida como número real). Aqui a possível fonte de problema é divisão por zero: uma fração só está definida quando o denominador não é zero. Portanto precisamos garantir que
não seja zero.
Passo 3
Determinar a condição para o domínio (passo algébrico simples): exigir que o denominador seja diferente de zero dá
Logo o domínio é o conjunto de todos os pares reais com
diferente de
.
Passo 4
Escrever o domínio em notação de conjuntos (forma final e clara):
Interpretação geométrica (como esboçar): no plano
isso corresponde ao plano inteiro
com a linha reta diagonal
retirada. Para esboçar: desenhe os eixos
e
, trace a reta
(linha a
) e risque-a ou faça traço interrompido para indicar que os pontos sobre essa reta não pertencem ao domínio. As duas regiões abertas separadas por essa reta (onde
e onde
) pertencem ao domínio.
Passo 5
Conceito importante (explicação didática sobre imagem/contradomínio): a imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todos os valores reais
que
pode assumir quando
varia pelo domínio. Então precisamos estudar quais valores
existem tais que haja
com
.
Passo 6
Mostrar que
não pode ser imagem (prova direta): a equação
não tem solução real, porque o numerador é
(um número diferente de zero) e uma fração com numerador não nulo nunca é
. Portanto
.
Passo 7
Mostrar que qualquer
é atingido (construção explícita, prova de surjectividade sobre
): escolha um valor fixo
com
. Queremos
tais que
Isso equivale a
Para construir uma solução fácil podemos, por exemplo, tomar
e então definir
. Como
, esse
é bem definido e
, logo
está no domínio e produz
. Assim todo
é realmente imagem de
. Observação adicional útil para prova de compreensão: quando
temos
; quando
temos
. Isso mostra também como os dois semiplanos (ao lado da linha
) correspondem a sinais diferentes dos valores de
.
Passo 8
Concluir sobre a imagem: pelos passos anteriores a imagem é exatamente todos os reais exceto
, ou seja