Quarta Questão(2,5 pontos): Use o Teorema de Green para calcular
\int_{C}\left(y^{3}+y\right) d x-\left(x^{3}+y\right) d y
onde C é a fronteira do disco de raio unitário centrado na origem, orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(y^{3}+y\right) dx-\left(x^{3}+y\right) dy
onde C é a fronteira do disco de raio unitário centrado na origem, orientada positivamente. Informações relevantes dadas:
  • A curva C é o contorno do disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
  • A orientação é positiva (sentido anti-horário).
  • O integrando está na forma P\,dx+Q\,dy com
    • P(x,y)=y^{3}+y,
    • Q(x,y)=-\bigl(x^{3}+y\bigr) (note o sinal menos no segundo termo).
      As perguntas implícitas são: usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre D e então calcular esse valor.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Green (forma que vamos usar).
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
Explicando cada peça dessa fórmula:
  • C é a fronteira de uma região plana D, orientada positivamente (anti-horário).
  • P(x,y) e Q(x,y) são funções com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (trata y como constante).
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
  • dA é o elemento de área (no plano cartesiano dA=dx\,dy; mais adiante usaremos coordenadas polares).
    Usamos o Teorema de Green porque a integral de linha dada está exatamente na forma P\,dx+Q\,dy e C é a fronteira de uma região simples (o disco).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram no integrando da integral dupla.
Primeiro identifiquei P e Q (repito):
P(x,y)=y^{3}+y,\qquad Q(x,y)=-\bigl(x^{3}+y\bigr).
Agora calcule as derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-x^{3}-y\right)=-3x^{2},
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(y^{3}+y\right)=3y^{2}+1.
Portanto o integrando na integral dupla é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -3x^{2} - (3y^{2}+1) = -3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) -1.

Passo 4

Aplicando Green transformamos a integral de linha na integral dupla sobre o disco D:
\oint_{C}\left(y^{3}+y\right) dx-\left(x^{3}+y\right) dy = \iint_{D} \bigl(-3(x^{2}+y^{2}) -1\bigr)\, dA.
Vou separar a integral em duas partes para facilitar:
\iint_{D} \bigl(-3(x^{2}+y^{2}) -1\bigr)\, dA = -3\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,dA \;-\; \iint_{D} 1\,dA.
Interpretação:
  • \iint_{D} 1\,dA é simplesmente a área do disco de raio 1.
  • \iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,dA é mais simples em coordenadas polares, porque x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 5

Mudar para coordenadas polares. Recordando as relações e o jacobiano:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad dA = r\,dr\,d\theta.
Limites para o disco unitário:
0\le r \le 1,\qquad 0\le \theta \le 2\pi.
Calcule as duas integrais:
Primeiro a área do disco:
\iint_{D} 1\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta.
Segundo a integral de x^{2}+y^{2}=r^{2}:
\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Executar as integrais em r e \theta passo a passo.
Área do disco:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1} d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Integral de x^{2}+y^{2}:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}.

Passo 7

Voltar à expressão combinada:
-3\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,dA \;-\; \iint_{D} 1\,dA = -3\cdot\frac{\pi}{2} \;-\; \pi.
Calcule:
-3\cdot\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}.
Portanto a integral de linha pedida vale -\dfrac{5\pi}{2}.

Resposta

-\dfrac{5\pi}{2}

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