Quarta Questão(2,5 pontos): Use o Teorema de Green para calcular
onde
é a fronteira do disco de raio unitário centrado na origem, orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a fronteira do disco de raio unitário centrado na origem, orientada positivamente. Informações relevantes dadas:
- A curva
é o contorno do disco unitário . - A orientação é positiva (sentido anti-horário).
- O integrando está na forma
com -
, -
(note o sinal menos no segundo termo).
As perguntas implícitas são: usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobree então calcular esse valor.
-
Passo 2
Enunciado do Teorema de Green (forma que vamos usar).
Explicando cada peça dessa fórmula:
-
é a fronteira de uma região plana , orientada positivamente (anti-horário). -
e são funções com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de . -
é a derivada parcial de em relação a (trata como constante). -
é a derivada parcial de em relação a . -
é o elemento de área (no plano cartesiano ; mais adiante usaremos coordenadas polares).
Usamos o Teorema de Green porque a integral de linha dada está exatamente na formae é a fronteira de uma região simples (o disco).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que entram no integrando da integral dupla.
Primeiro identifiquei e
(repito):
Primeiro identifiquei
Agora calcule as derivadas:
Portanto o integrando na integral dupla é
Passo 4
Aplicando Green transformamos a integral de linha na integral dupla sobre o disco
:
Vou separar a integral em duas partes para facilitar:
Interpretação:
-
é simplesmente a área do disco de raio . -
é mais simples em coordenadas polares, porque .
Passo 5
Mudar para coordenadas polares. Recordando as relações e o jacobiano:
Limites para o disco unitário:
Calcule as duas integrais:
Primeiro a área do disco:
Primeiro a área do disco:
Segundo a integral de
:
Passo 6
Executar as integrais em
e
passo a passo.
Área do disco:
Integral de
:
Passo 7
Voltar à expressão combinada:
Calcule:
Portanto a integral de linha pedida vale
.