Terceira Questão(
pontos) : Calcule
, onde
e
é a curva com parametrização
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- O campo vetorial é
. - A curva
está parametrizada por , com . - A pergunta é: calcular
.
Passos úteis a observar (dados que serão usados): o parâmetro
varia de
a
; as coordenadas sobre a curva são
,
,
.
Passo 2
Método escolhido e fórmula básica. Vou usar a parametrização da curva e a definição de integral de linha (método canônico aqui). A fórmula que vamos aplicar é
onde:
-
é a parametrização da curva (já dada); -
é a derivada componente a componente (velocidade da partícula movendo-se pela curva); -
é o campo avaliado nas coordenadas dependentes de ; -
e são os limites do parâmetro (aqui , ).
Explicando de um jeito prático: primeiro calculo
, depois substituo
em
para obter
, faço o produto escalar e integro em
de
a
.
Passo 3
Calcular
(derivada componente a componente):
Interpretação:
dá a direção e a velocidade instantânea ao percorrer a curva — é o vetor com o qual vamos fazer o produto escalar.
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva, isto é calcular
. Substituindo
,
,
nas componentes de
:
Usando a identidade
e
, obtemos
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
Portanto a integral que queremos é
Passo 6
Integrar termo a termo. Abordo cada parcela separadamente.
- Integral de
. Faço a substituição
Então
- Integral de
. Faço a substituição
Então
- Integral de
:
Passo 7
Somando os três resultados:
Se desejar juntar em uma única fração: