Terceira Questão( \mathbf{2 , 0} pontos) : Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde
\vec{F}=\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) \overrightarrow{\mathrm{i}}+\operatorname{sen}\left(\frac{\pi y}{2}\right) \overrightarrow{\mathrm{j}}+x z \vec{k}
e C é a curva com parametrização
\vec{r}(t)=t^{2} \overrightarrow{\mathrm{i}}-t^{3} \overrightarrow{\mathrm{~J}}+t \vec{k}, \quad 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O campo vetorial é \vec{F}=\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,\overrightarrow{\mathrm{i}}+\sin\!\left(\dfrac{\pi y}{2}\right)\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+x z\,\overrightarrow{\mathrm{k}}.
  • A curva C está parametrizada por \vec{r}(t)=t^{2}\,\overrightarrow{\mathrm{i}}-t^{3}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{k}}, com 0\le t\le 1.
  • A pergunta é: calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Passos úteis a observar (dados que serão usados): o parâmetro t varia de 0 a 1; as coordenadas sobre a curva são x(t)=t^{2}, y(t)=-t^{3}, z(t)=t.

Passo 2

Método escolhido e fórmula básica. Vou usar a parametrização da curva e a definição de integral de linha (método canônico aqui). A fórmula que vamos aplicar é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt,
onde:
  • \vec{r}(t) é a parametrização da curva (já dada);
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada componente a componente (velocidade da partícula movendo-se pela curva);
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado nas coordenadas dependentes de t;
  • a e b são os limites do parâmetro (aqui a=0, b=1).
Explicando de um jeito prático: primeiro calculo \vec{r}\,'(t), depois substituo x(t),y(t),z(t) em \vec F para obter \vec F(\vec r(t)), faço o produto escalar e integro em t de 0 a 1.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) (derivada componente a componente):
\vec{r}(t)=\bigl(t^{2},\,-t^{3},\,t\bigr)\quad\Rightarrow\quad \vec{r}\,'(t)=\bigl(2t,\,-3t^{2},\,1\bigr).
Interpretação: \vec r\,'(t) dá a direção e a velocidade instantânea ao percorrer a curva — é o vetor com o qual vamos fazer o produto escalar.

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva, isto é calcular \vec{F}(\vec{r}(t)). Substituindo x=t^{2}, y=-t^{3}, z=t nas componentes de \vec F:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\left(\cos\!\left(\dfrac{\pi t^{2}}{2}\right),\; \sin\!\left(\dfrac{\pi(-t^{3})}{2}\right),\;t^{2}\cdot t\right).
Usando a identidade \sin(-u)=-\sin u e t^{2}\cdot t=t^{3}, obtemos
\vec{F}(\vec{r}(t))=\left(\cos\!\left(\dfrac{\pi t^{2}}{2}\right),\; -\sin\!\left(\dfrac{\pi t^{3}}{2}\right),\;t^{3}\right).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t):
\begin{aligned} \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) &= \cos\!\left(\dfrac{\pi t^{2}}{2}\right)\cdot (2t) + \Bigl(-\sin\!\left(\dfrac{\pi t^{3}}{2}\right)\Bigr)\cdot(-3t^{2}) + t^{3}\cdot 1\\[4pt] &= 2t\cos\!\left(\dfrac{\pi t^{2}}{2}\right) +3t^{2}\sin\!\left(\dfrac{\pi t^{3}}{2}\right) + t^{3}. \end{aligned}
Portanto a integral que queremos é
\int_{0}^{1}\Bigl[2t\cos\!\left(\dfrac{\pi t^{2}}{2}\right) +3t^{2}\sin\!\left(\dfrac{\pi t^{3}}{2}\right) + t^{3}\Bigr]\,dt.]

Passo 6

Integrar termo a termo. Abordo cada parcela separadamente.
  1. Integral de 2t\cos\!\left(\dfrac{\pi t^{2}}{2}\right). Faço a substituição
u=\dfrac{\pi t^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad du=\pi t\,dt\quad\Rightarrow\quad t\,dt=\dfrac{du}{\pi}.
Então
\int_{0}^{1}2t\cos\!\left(\dfrac{\pi t^{2}}{2}\right)\,dt = \int_{u(0)}^{u(1)}2\cos u\cdot \dfrac{du}{\pi} = \dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos u\,du = \dfrac{2}{\pi}\bigl[\sin u\bigr]_{0}^{\pi/2} = \dfrac{2}{\pi}\cdot 1 = \dfrac{2}{\pi}.
  1. Integral de 3t^{2}\sin\!\left(\dfrac{\pi t^{3}}{2}\right). Faço a substituição
v=\dfrac{\pi t^{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad dv=\dfrac{3\pi}{2}t^{2}\,dt \quad\Rightarrow\quad 3t^{2}\,dt=\dfrac{2}{\pi}\,dv.
Então
\int_{0}^{1}3t^{2}\sin\!\left(\dfrac{\pi t^{3}}{2}\right)\,dt = \dfrac{2}{\pi}\int_{v(0)}^{v(1)}\sin v\,dv = \dfrac{2}{\pi}\bigl[-\cos v\bigr]_{0}^{\pi/2} = \dfrac{2}{\pi}\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})+\cos 0\bigr) = \dfrac{2}{\pi}\cdot 1 = \dfrac{2}{\pi}.
  1. Integral de t^{3}:
\int_{0}^{1}t^{3}\,dt=\left[\dfrac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}.

Passo 7

Somando os três resultados:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \dfrac{2}{\pi}+\dfrac{2}{\pi}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{\pi}+\dfrac{1}{4}.
Se desejar juntar em uma única fração:
\dfrac{4}{\pi}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{16+\pi}{4\pi}.

Resposta

\dfrac{16+\pi}{4\pi}

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