Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
f(x, y)=\sqrt{x y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f.
    A função fornecida é
f(x,y)=\sqrt{xy}.
Não há outras informações; então trabalhar com x,y\in\mathbb{R}.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? É o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 para os quais a expressão \sqrt{xy} está bem definida como número real. Vou lembrar uma regra básica sobre a raiz quadrada: a função \sqrt{\cdot}, quando queremos um valor real, exige que o argumento seja maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos ter
xy \ge 0.
Portanto, a condição necessária e suficiente para (x,y) estar no domínio é exatamente essa desigualdade.

Passo 3

Agora interpretar a desigualdade xy\ge 0. Uma forma prática de pensar:
  • O produto de dois números reais é não negativo quando esses números têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos) ou quando um deles é zero.
    Em linguagem matemática:
xy\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x\ge 0 \text{ e } y\ge 0)\\ \text{ou}\\ (x\le 0 \text{ e } y\le 0).
Isto é justificado porque se x e y têm sinais opostos, o produto é negativo; se têm o mesmo sinal (positivo ou negativo) o produto é positivo; se algum for zero o produto é zero.

Passo 4

Escrever o domínio de forma explícita usando produto cartesiano:
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy\ge 0\} = [0,\infty)\times[0,\infty)\\ \cup\\ (-\infty,0]\times(-\infty,0].
Essa descrição deixa claro que estão incluídos os pontos do primeiro quadrante (com eixos) e do terceiro quadrante (com eixos).

Passo 5

Como esboçar o domínio no papel (dica prática para a prova):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Sombreie o primeiro quadrante (onde x\ge 0 e y\ge 0). Inclua as semirretas dos eixos x\ge0 e y\ge0.
  • Sombreie também o terceiro quadrante (onde x\le 0 e y\le 0). Inclua as semirretas dos eixos x\le0 e y\le0.
  • As fronteiras (os eixos) fazem parte do domínio — ou seja, pontos com x=0 ou y=0 estão no domínio.
    No rascunho: sombreie duas “fatias” opostas (1.º e 3.º quadrantes) incluindo as linhas dos eixos.

Passo 6

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f).
Primeiro, a raíz quadrada retorna sempre um número real não negativo, então para todo (x,y) no domínio vale
f(x,y)=\sqrt{xy}\ge 0.
Isso mostra que \text{Im}(f)\subseteq[0,\infty).
Agora provar que todo número não negativo aparece como valor de f (ou seja, [0,\infty)\subseteq\text{Im}(f)):
  • Para um t>0, escolha (x,y)=(t,t). Então xy=t^2\ge0 e
f(t,t)=\sqrt{t\cdot t}=\sqrt{t^2}=t.
  • Para t=0, escolha por exemplo (x,y)=(0,0) ou qualquer par com x=0 (ou y=0); tem-se f=0.
    Portanto qualquer t\ge 0 é atingido por f. Logo
\text{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 7

Resumo interpretativo e dica de prova:
  • Domínio: pares com produto não negativo — pode-se pensar intuitivamente “mesmo sinal ou zero”.
  • Imagem: todos os números reais não negativos; para mostrar surjetividade basta usar a diagonal (t,t) para t>0.
  • No esboço, lembre-se de incluir os eixos como parte do domínio (pontos de fronteira).

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy\ge 0\} = [0,\infty)\times[0,\infty)\\ \cup\\ (-\infty,0]\times(-\infty,0]\n
\text{Im}(f)=[0,\infty)

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