Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
.
A função fornecida é
Não há outras informações; então trabalhar com
.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui? É o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão
está bem definida como número real. Vou lembrar uma regra básica sobre a raiz quadrada: a função
, quando queremos um valor real, exige que o argumento seja maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos ter
Portanto, a condição necessária e suficiente para
estar no domínio é exatamente essa desigualdade.
Passo 3
Agora interpretar a desigualdade
. Uma forma prática de pensar:
- O produto de dois números reais é não negativo quando esses números têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos) ou quando um deles é zero.
Em linguagem matemática:
Isto é justificado porque se
e
têm sinais opostos, o produto é negativo; se têm o mesmo sinal (positivo ou negativo) o produto é positivo; se algum for zero o produto é zero.
Passo 4
Escrever o domínio de forma explícita usando produto cartesiano:
Essa descrição deixa claro que estão incluídos os pontos do primeiro quadrante (com eixos) e do terceiro quadrante (com eixos).
Passo 5
Como esboçar o domínio no papel (dica prática para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Sombreie o primeiro quadrante (onde
e ). Inclua as semirretas dos eixos e . - Sombreie também o terceiro quadrante (onde
e ). Inclua as semirretas dos eixos e . - As fronteiras (os eixos) fazem parte do domínio — ou seja, pontos com
ou estão no domínio.
No rascunho: sombreie duas “fatias” opostas (1.º e 3.º quadrantes) incluindo as linhas dos eixos.
Passo 6
Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
).
Primeiro, a raíz quadrada retorna sempre um número real não negativo, então para todo no domínio vale
Primeiro, a raíz quadrada retorna sempre um número real não negativo, então para todo
Isso mostra que
.
Agora provar que todo número não negativo aparece como valor de
(ou seja,
):
- Para um
, escolha . Então e
- Para
, escolha por exemplo ou qualquer par com (ou ); tem-se .
Portanto qualqueré atingido por . Logo
Passo 7
Resumo interpretativo e dica de prova:
- Domínio: pares com produto não negativo — pode-se pensar intuitivamente “mesmo sinal ou zero”.
- Imagem: todos os números reais não negativos; para mostrar surjetividade basta usar a diagonal
para . - No esboço, lembre-se de incluir os eixos como parte do domínio (pontos de fronteira).