Prove que \cos (2 x)=1-2 \sin ^{2} x usando as fórmulas de adição.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\cos(2x)=1-2\sin^{2}x
usando as fórmulas de adição. Informações relevantes que temos e que podemos usar:
  • Podemos usar a fórmula de adição para o cosseno de uma soma de ângulos.
  • Podemos usar a identidade pitagórica básica entre seno e cosseno: \cos^{2}x+\sin^{2}x=1.
    Nada mais é fornecido; a missão é deduzir a igualdade acima passo a passo.

Passo 2

Escrevemos a fórmula de adição para o cosseno. Para quaisquer ângulos a e b vale:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b
Explicando: aqui \cos(a+b) é o cosseno da soma dos ângulos a e b, \cos a significa o cosseno de a e \sin a o seno de a. A fórmula diz que o cosseno da soma é o produto dos cossenos menos o produto dos senos.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de adição com a=b=x. Então:
\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x
Agora escrevemos de forma mais compacta usando a notação padrão:
\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x
Observação: \cos^{2}x significa (\cos x)^{2} e \sin^{2}x significa (\sin x)^{2}.

Passo 4

Agora usamos a identidade pitagórica, que decorre da definição de seno e cosseno no círculo unitário (as coordenadas do ponto na circunferência satisfazem x^{2}+y^{2}=1). A identidade é:
\cos^{2}x+\sin^{2}x=1
Dessa igualdade podemos isolar \cos^{2}x. Subtraindo \sin^{2}x de ambos os lados obtemos:
\cos^{2}x=1-\sin^{2}x

Passo 5

Substituímos a expressão de \cos^{2}x obtida no Passo 4 na expressão do Passo 3. Partindo de
\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x
fazemos a substituição \cos^{2}x=1-\sin^{2}x e obtemos:
\cos(2x)=(1-\sin^{2}x)-\sin^{2}x
Agora simplificamos os termos semelhantes:
\cos(2x)=1-2\sin^{2}x
Essa é exatamente a identidade que tínhamos que provar.

Passo 6

Breve checagem numérica para ganhar confiança: tome x=\dfrac{\pi}{6}. Então \sin x=\dfrac{1}{2} e \sin^{2}x=\dfrac{1}{4}. Pela identidade a direita dá 1-2\cdot\dfrac{1}{4}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}. E \cos(2x)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}. Confere.

Resposta

\cos(2x)=1-2\sin^{2}x

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