Prove que
usando as fórmulas de adição.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
usando as fórmulas de adição. Informações relevantes que temos e que podemos usar:
- Podemos usar a fórmula de adição para o cosseno de uma soma de ângulos.
- Podemos usar a identidade pitagórica básica entre seno e cosseno:
.
Nada mais é fornecido; a missão é deduzir a igualdade acima passo a passo.
Passo 2
Escrevemos a fórmula de adição para o cosseno. Para quaisquer ângulos
e
vale:
Explicando: aqui
é o cosseno da soma dos ângulos
e
,
significa o cosseno de
e
o seno de
. A fórmula diz que o cosseno da soma é o produto dos cossenos menos o produto dos senos.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de adição com
. Então:
Agora escrevemos de forma mais compacta usando a notação padrão:
Observação:
significa
e
significa
.
Passo 4
Agora usamos a identidade pitagórica, que decorre da definição de seno e cosseno no círculo unitário (as coordenadas do ponto na circunferência satisfazem
). A identidade é:
Dessa igualdade podemos isolar
. Subtraindo
de ambos os lados obtemos:
Passo 5
Substituímos a expressão de
obtida no Passo 4 na expressão do Passo 3. Partindo de
fazemos a substituição
e obtemos:
Agora simplificamos os termos semelhantes:
Essa é exatamente a identidade que tínhamos que provar.
Passo 6
Breve checagem numérica para ganhar confiança: tome
. Então
e
. Pela identidade a direita dá
. E
. Confere.