Se \operatorname{tanh} x=\frac{3}{5}, encontre \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x.

Passo 1

O enunciado dá a informação
\operatorname{tanh} x = \frac{3}{5}
e pede para encontrar \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x.
Informações relevantes fornecidas:
  • Valor de \operatorname{tanh} x: \operatorname{tanh} x = \dfrac{3}{5}.
  • O que se deve determinar: os valores numéricos de \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x.

Passo 2

Relembrando definições e identidades que vamos usar (explicando cada coisa):
  • Por definição, a hiperbólica tangente é a razão entre seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
\operatorname{tanh} x = \frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}.
Aqui \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x são funções hiperbólicas de x; ambas são números reais quando x é real.
  • Há uma identidade fundamental das hiperbólicas, análoga à identidade trigonométrica, que vale para todo x:
\operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x = 1.
Nessa identidade \operatorname{cosh}^{2}x significa (\operatorname{cosh} x)^{2} e \operatorname{sinh}^{2}x significa (\operatorname{sinh} x)^{2}. Essa identidade segue diretamente das definições em termos de exponenciais, mas aqui vamos usá‑la como ferramenta para relacionar \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x.

Passo 3

Usando \operatorname{tanh} x = \dfrac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x} = \dfrac{3}{5}, podemos escrever que \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x são proporcionais por essa razão. Uma forma prática é introduzir um fator comum k tal que
\operatorname{sinh} x = 3k,\qquad \operatorname{cosh} x = 5k.
Essa escolha garante que \dfrac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x} = \dfrac{3k}{5k} = \dfrac{3}{5}, ou seja, preserva a razão dada.

Passo 4

Agora usamos a identidade \operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x = 1. Substituindo \operatorname{sinh} x = 3k e \operatorname{cosh} x = 5k obtemos:
(5k)^{2} - (3k)^{2} = 1.
Desenvolvendo os quadrados:
25k^{2} - 9k^{2} = 1.
Somando os termos:
16k^{2} = 1.
Daí
k^{2} = \frac{1}{16}.

Passo 5

Agora decidimos o sinal de k. Lembrando que para todo real x vale \operatorname{cosh} x \ge 1, ou seja, \operatorname{cosh} x é sempre positivo. Como \operatorname{cosh} x = 5k e 5>0, conclui-se que k deve ser positivo. Portanto
k = \frac{1}{4}.
Substituindo k em \operatorname{sinh} x = 3k e \operatorname{cosh} x = 5k:
\operatorname{sinh} x = 3\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{4}, \qquad \operatorname{cosh} x = 5\cdot\frac{1}{4} = \frac{5}{4}.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar):
\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x} = \frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{5}{4}} = \frac{3}{5},
que coincide com o dado. E
\operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x = \left(\frac{5}{4}\right)^{2} - \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{25-9}{16} = \frac{16}{16} = 1,
como esperado.

Resposta

\operatorname{sinh} x = \dfrac{3}{4}
\operatorname{cosh} x = \dfrac{5}{4}

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