Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
incluindo domínio, interceptos, assíntotas, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço. Vamos usar: (i) condição de existência da raiz para o domínio, (ii) derivadas primeira e segunda para monotonia, extremos e concavidade, (iii) observação de limites para assíntotas.
Passo 2
Para ter
real precisamos de
logo o domínio é
.
Interceptos com eixo :
quando
ou
, isto é,
.
Intercepto com eixo : em
temos
.
Não há assíntotas verticais (domínio fechado) nem horizontais (função nula nos extremos).
Interceptos com eixo
Intercepto com eixo
Não há assíntotas verticais (domínio fechado) nem horizontais (função nula nos extremos).
Passo 3
Calculamos a derivada usando regra do produto:
Zeramos o numerador para pontos críticos:
Passo 4
Analisando o sinal de
: o denominador é sempre positivo em
. Logo:
- se
, ou seja
.
- se
no interior do domínio.
Em a derivada muda de negativa para positiva
mínimo local.
Em a derivada muda de positiva para negativa
máximo local.
Valores:
-
-
Em
Em
Valores:
Passo 5
Para concavidade, usamos a segunda derivada. Partindo de
obtém-se
O único zero viável de
em
é
.
Análise de sinais:
- Em :
e
;
;numerador
;
;
(convexo).
- Em :
e
;
;numerador
;
;
(côncavo).
Portanto há ponto de inflexão em .
Análise de sinais:
- Em
- Em
Portanto há ponto de inflexão em
Passo 6
Resumo para esboço:
- Domínio .
- Zeros em .
- Mínimo local em .
- Máximo local em .
- Função cresce em e decresce em
.
- Convexa em , côncava em
, inflexão em
.
O gráfico é uma curva ímpar, iniciando em , descendo até o mínimo, subindo até o máximo e caindo de novo até
.
- Domínio
- Zeros em
- Mínimo local em
- Máximo local em
- Função cresce em
- Convexa em
O gráfico é uma curva ímpar, iniciando em
Resposta
Domínio:
.
Interceptos: eixos em
; eixo
em
.
Assíntotas: nenhuma.
Monotonia: cresce em , decresce em
.
Extremos: mínimo em ; máximo em
.
Concavidade: convexo em , côncavo em
.
Ponto de inflexão: .
Esboço: curva ímpar limitada entre e
, com formato de “sino” assimétrico.
Interceptos: eixos
Assíntotas: nenhuma.
Monotonia: cresce em
Extremos: mínimo em
Concavidade: convexo em
Ponto de inflexão:
Esboço: curva ímpar limitada entre