Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=xraiz9-x^2
incluindo domínio, interceptos, assíntotas, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço. Vamos usar: (i) condição de existência da raiz para o domínio, (ii) derivadas primeira e segunda para monotonia, extremos e concavidade, (iii) observação de limites para assíntotas.

Passo 2

Para ter raiz9-x^2 real precisamos de
9-x^2>=0Longrightarrow -3<= x<=3,
logo o domínio é l[-3,3r].
Interceptos com eixo x: f(x)=0 quando x=0 ou 9-x^2=0, isto é, x=0,pm3.
Intercepto com eixo y: em x=0 temos f(0)=0.
Não há assíntotas verticais (domínio fechado) nem horizontais (função nula nos extremos).

Passo 3

Calculamos a derivada usando regra do produto:
f(x)=x,(9-x^2)^1/2
f'(x)=raiz9-x^2+xcdot12(9-x^2)^-1/2(-2x) =9-2x^2raiz9-x^2
Zeramos o numerador para pontos críticos:
9-2x^2=0Longrightarrow x=pm3raiz2

Passo 4

Analisando o sinal de f'(x)=tfrac9-2x^2raiz9-x^2: o denominador é sempre positivo em (-3,3). Logo:
- f'(x)>0 se 9-2x^2>0, ou seja -tfrac3raiz2<x<tfrac3raiz2.
- f'(x)<0 se |x|>tfrac3raiz2 no interior do domínio.
Em x=-tfrac3raiz2 a derivada muda de negativa para positiva Rightarrow mínimo local.
Em x=+tfrac3raiz2 a derivada muda de positiva para negativa Rightarrow máximo local.
Valores:
fl(pmtfrac3raiz2r) =pmtfrac3raiz2;raiz9-tfrac92 =pmtfrac3raiz2;raiztfrac92 =pmtfrac92

Passo 5

Para concavidade, usamos a segunda derivada. Partindo de
f'(x)=9-2x^2(9-x^2)^1/2,
obtém-se
f''(x) =xl(2x^2-27r)(9-x^2)^3/2
O único zero viável de f'' em [-3,3] é x=0.
Análise de sinais:
- Em (-3,0): x<0 e 2x^2-27<0; Rightarrow;numerador >0; Rightarrow; f''(x)>0 (convexo).
- Em (0,3): x>0 e 2x^2-27<0; Rightarrow;numerador <0; Rightarrow; f''(x)<0 (côncavo).
Portanto há ponto de inflexão em (0,0).

Passo 6

Resumo para esboço:
- Domínio l[-3,3r].
- Zeros em -3,0,3.
- Mínimo local em l(-tfrac3raiz2,-tfrac92r).
- Máximo local em l(tfrac3raiz2,tfrac92r).
- Função cresce em l(-tfrac3raiz2,tfrac3raiz2r) e decresce em l[-3,-tfrac3raiz2r)cupl(tfrac3raiz2,3r].
- Convexa em (-3,0), côncava em (0,3), inflexão em (0,0).
O gráfico é uma curva ímpar, iniciando em (-3,0), descendo até o mínimo, subindo até o máximo e caindo de novo até (3,0).

Resposta

Domínio: l[-3,3r].
Interceptos: eixos x em -3,0,3; eixo y em (0,0).
Assíntotas: nenhuma.
Monotonia: cresce em l(-tfrac3raiz2,tfrac3raiz2r), decresce em l[-3,-tfrac3raiz2r)cupl(tfrac3raiz2,3r].
Extremos: mínimo em l(-tfrac3raiz2,-tfrac92r); máximo em l(tfrac3raiz2,tfrac92r).
Concavidade: convexo em (-3,0), côncavo em (0,3).
Ponto de inflexão: (0,0).
Esboço: curva ímpar limitada entre (-3,0) e (3,0), com formato de “sino” assimétrico.

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