Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{z^{2}+1}{z^{2}(z-1)}, z_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\frac{z^{2}+1}{z^{2}(z-1)}
e pede, em z_{0}=1, o tipo de singularidade (polo de ordem m ou singularidade essencial) e o resíduo \Res(f,1). Vamos usar a classificação de singularidades isoladas e a fórmula de resíduo para polo de ordem 1.

Passo 2

Em z=1 o denominador anula-se por um fator (z-1), enquanto o numerador (z^{2}+1) em z=1 vale 1^{2}+1=2\neq0. Logo f tem em z=1 um polo simples, ou seja, polo de ordem m=1.

Passo 3

Para um polo de ordem 1 em z_{0}, o resíduo é dado por
\Res(f,z_{0}) =\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\,f(z).

Passo 4

Aplicando a fórmula em z_{0}=1, temos
\Res(f,1) =\lim_{z\to1}(z-1)\frac{z^{2}+1}{z^{2}(z-1)} =\lim_{z\to1}\frac{z^{2}+1}{z^{2}} =\frac{1+1}{1} =2.

Resposta

Em z_{0}=1 há um polo de ordem 1 (polo simples) e
\Res(f,1)=2.

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