Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{z^{2}+1}{z^{2}(z-1)}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\frac{z^{2}+1}{z^{2}(z-1)}
e pede a natureza da singularidade em z_{0}=0 e o resíduo aí. Vamos usar análise da ordem de polo e a fórmula de resíduo para polo de ordem m.

Passo 2

Para identificar a singularidade em z=0 note que o denominador tem fator z^{2} enquanto o numerador em z=0 vale 1\neq0. Logo, é um polo de ordem m=2.

Passo 3

A fórmula do resíduo para polo de ordem m=2 em z=0 é
\Res_{z=0}f =\frac{1}{(2-1)!}\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\bigl[z^{2}f(z)\bigr] =\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\Bigl[\frac{z^{2}+1}{z-1}\Bigr].

Passo 4

Calculemos a derivada usando a regra do quociente. Se
g(z)=\frac{z^{2}+1}{z-1},
então
g'(z) =\frac{(2z)(z-1)-(z^{2}+1)\cdot1}{(z-1)^{2}} =\frac{2z^{2}-2z-z^{2}-1}{(z-1)^{2}} =\frac{z^{2}-2z-1}{(z-1)^{2}}.

Passo 5

Avaliaremos g'(z) em z=0:
g'(0) =\frac{0^{2}-2\cdot0-1}{(0-1)^{2}} =\frac{-1}{1} =-1.
Portanto,
\Res_{z=0}f=-1.

Resposta

Tipo de singularidade em z_{0}=0: polo de ordem 2.
Resíduo: \Res_{z=0}f=-1.

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