Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em
(polo de ordem
ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de
em
:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede (i) o tipo de singularidade em
(polo de ordem finita ou singularidade essencial) e (ii) o resíduo de
em
. Vamos usar expansão em série de Laurent de
em torno de
e a definição de resíduo como coeficiente de
.
Passo 2
Começamos pela expansão de Taylor de
em torno de
:
Substituindo
obtemos
logo
Passo 3
No desenvolvimento acima, para
aparecem termos com potências
que vão a ordens negativas arbitrariamente altas. Isso significa que a parte principal da série de Laurent tem infinitos termos: singularidade essencial em
.
Passo 4
O resíduo
é o coeficiente do termo
na série de Laurent. Procuramos
tal que
Para
o coeficiente é
Resposta
Singularidade essencial em
e