Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+2 x+2}=\pi
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+2x+2}
usando o teorema dos resíduos. O conteúdo é Análise Complexa: estender x para z\in\mathbb{C}, fechar o contorno no semicírculo superior e aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
Complete o quadrado no denominador para achar os polos:
x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2}+1,
logo os zeros são
z_{1} = -1 + i \quad\text{e}\quad z_{2} = -1 - i.
Destes, apenas z_{1} está no semiplano superior.
Passo 3
Considere o contorno formado pela reta real de -R a R e pelo semicírculo \Gamma_{R} de raio R no semiplano superior. Em \Gamma_{R}, para |z|=R, temos