Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+2 x+2}=\pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+2x+2}
usando o teorema dos resíduos. O conteúdo é Análise Complexa: estender x para z\in\mathbb{C}, fechar o contorno no semicírculo superior e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Complete o quadrado no denominador para achar os polos:
x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2}+1,
logo os zeros são
z_{1} = -1 + i \quad\text{e}\quad z_{2} = -1 - i.
Destes, apenas z_{1} está no semiplano superior.

Passo 3

Considere o contorno formado pela reta real de -R a R e pelo semicírculo \Gamma_{R} de raio R no semiplano superior. Em \Gamma_{R}, para |z|=R, temos
\left|\frac{1}{z^{2}+2z+2}\right|\le\frac{1}{R^{2}-2R-2}\sim\frac{1}{R^{2}},
logo a contribuição em \Gamma_{R} tende a zero quando R\to\infty.

Passo 4

O único polo simples dentro do contorno é z_{1}=-1+i. A função pode-se escrever como
f(z)=\frac{1}{(z-z_{1})(z-z_{2})},
e a respectiva resíduo em z_{1} é
\Res(f,z_{1}) =\lim_{z\to z_{1}}(z-z_{1})\frac{1}{(z-z_{1})(z-z_{2})} =\frac{1}{z_{1}-z_{2}} =\frac{1}{(-1+i)-(-1-i)} =\frac{1}{2i} \,.

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos, o integral sobre todo o contorno vale
\oint f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{\text{polos}} \Res(f) =2\pi i\cdot\frac{1}{2i} = \pi.
Como a parte no semicírculo some, resta
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+2x+2} = \pi.

Resposta

\pi

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