Para cada função de transferência a seguir:
a) Diga a ordem da FT;
b) Calcule seus pólos e plote-os no plano s ;
c) Diga se o sistema é estável ou instável em função da localização dos pólos.
a) Diga a ordem da FT;
b) Calcule seus pólos e plote-os no plano s ;
c) Diga se o sistema é estável ou instável em função da localização dos pólos.
Passo 1
O enunciado pede, para cada função de transferência listada, três coisas:
- a) Dizer a ordem da função de transferência;
- b) Calcular seus pólos e “plotá-los” no plano
(ou seja, informar suas coordenadas no plano complexo); - c) Dizer se o sistema é estável ou instável com base na localização dos pólos.
As funções de transferência fornecidas são:
Passo 2
Pequena aula antes de começar a resolver passo a passo (muito prática, sem enrolação):
-
O que é ordem de uma função de transferência?
A ordem é, para sistemas contínuos lineares racionais, o grau do polinômio do denominador (contando multiplicidade). Ou seja, se o denominador é um polinômio emde grau , dizemos que a FT é de ordem . Ex.: se o denominador é o grau é ; se é o grau é . -
O que é um pólo?
Um pólo é um valor deque faz o denominador zero (desde que não cancele com o numerador). Formalmente, são as raízes do polinômio do denominador. Para achar pólos resolvemos . -
Como resolver polinômios simples:
- Grau
: se o denominador é , a raiz é . - Grau
: usamos a fórmula quadrática. Para as raízes são
O discriminantenos diz se as raízes são reais ( ) ou complexas conjugadas ( ). - Grau
-
Critério de estabilidade (para sistemas contínuos LTI):
O sistema é assintoticamente estável se, e somente se, todos os pólos tiverem parte real estritamente negativa (ou seja, todos os pólos no semiplano esquerdo,).
Se existir pelo menos um pólo com, o sistema é instável.
Se houver pólos com(no eixo imaginário) e sem multiplicidade maior que 1, o sistema é marginalmente estável (casos especiais); se houver pólos no eixo imaginário com multiplicidade maior que 1, é instável. (Nenhuma das funções dadas tem polos no eixo imaginário simples exceto como caso a ser observado.)
Agora aplicamos isso função a função, mostrando cálculo e localização dos polos no plano
.
Passo 3
Analisando
.
-
Ordem: o denominador é
, polinômio de grau . Logo a ordem é . -
Pólos: resolvo
Então há um pólo único em
. No plano
isso corresponde ao ponto com coordenadas
(parte real
, parte imaginária
).
- Estabilidade: a parte real do pólo é
, então o pólo está no semiplano esquerdo. Como todos os pólos (apenas esse) têm parte real negativa, o sistema é assintoticamente estável.
Passo 4
Analisando
.
-
Ordem: denominador
tem grau . Ordem . -
Pólos: resolvo
Pólo em
, coordenadas
.
- Estabilidade: a parte real do pólo é
, ou seja, o pólo está no semiplano direito. Com pelo menos um pólo com parte real positiva, o sistema é instável.
Passo 5
Analisando
.
-
Ordem: o denominador é um polinômio de grau
. Ordem . -
Pólos: aplico a fórmula quadrática com
, , :
Como
, as raízes serão complexas conjugadas. Usando a fórmula:
Logo os pólos são
e
. No plano
ficam nos pontos
e
.
- Estabilidade: ambos os pólos têm parte real
. Todos os pólos no semiplano esquerdo ⇒ sistema assintoticamente estável. (Observação física: pares complexos conjugados com parte real negativa implicam respostas oscilatórias amortecidas.)
Passo 6
Analisando
.
-
Ordem: o denominador é
que ao multiplicar dá um polinômio grau . Ordem . -
Pólos: resolvo cada fator igual a zero:
Portanto há dois pólos reais:
e
, localizados em
e
.
-
Observação sobre zeros: o numerador
tem um zero em , mas zeros não tornam o sistema instável — só os pólos determinam estabilidade. -
Estabilidade: como existe um pólo com parte real positiva (
), o sistema é instável.
Passo 7
Analisando
.
-
Ordem: denominador é grau
. Ordem . -
Pólos: fórmula quadrática com
, , :
Como
, raízes reais distintas:
Posso escrever os dois pólos explicitamente:
Para visualizar melhor, valores numéricos aproximados (apenas para o “plot”):
, então
Assim os pólos estão em
e
.
- Estabilidade: ambas as partes reais são negativas, logo os dois pólos estão no semiplano esquerdo e o sistema é assintoticamente estável.