Para cada função de transferência a seguir:
a) Diga a ordem da FT;
b) Calcule seus pólos e plote-os no plano s ;
c) Diga se o sistema é estável ou instável em função da localização dos pólos.
G_{1}(s)=\frac{4}{s+3}
G_{2}(s)=\frac{4}{s-1}
G_{3}(s)=\frac{5}{s^{2}+4 s+8} \quad G_{4}(s)=\frac{s-1}{(s+1)(s-2)}
G_{5}(s)=\frac{2}{s^{2}+3 s+1}

Passo 1

O enunciado pede, para cada função de transferência listada, três coisas:
  1. a) Dizer a ordem da função de transferência;
  2. b) Calcular seus pólos e “plotá-los” no plano s (ou seja, informar suas coordenadas no plano complexo);
  3. c) Dizer se o sistema é estável ou instável com base na localização dos pólos.
As funções de transferência fornecidas são:
G_{1}(s)=\frac{4}{s+3}
G_{2}(s)=\frac{4}{s-1}
G_{3}(s)=\frac{5}{s^{2}+4 s+8}
G_{4}(s)=\frac{s-1}{(s+1)(s-2)}
G_{5}(s)=\frac{2}{s^{2}+3 s+1}

Passo 2

Pequena aula antes de começar a resolver passo a passo (muito prática, sem enrolação):
  • O que é ordem de uma função de transferência?
    A ordem é, para sistemas contínuos lineares racionais, o grau do polinômio do denominador (contando multiplicidade). Ou seja, se o denominador é um polinômio em s de grau n, dizemos que a FT é de ordem n. Ex.: se o denominador é s+3 o grau é 1; se é s^{2}+4s+8 o grau é 2.
  • O que é um pólo?
    Um pólo é um valor de s que faz o denominador zero (desde que não cancele com o numerador). Formalmente, são as raízes do polinômio do denominador. Para achar pólos resolvemos \text{denominador}=0.
  • Como resolver polinômios simples:
    • Grau 1: se o denominador é as+b, a raiz é s=-b/a.
    • Grau 2: usamos a fórmula quadrática. Para \;a s^{2}+b s+c=0\; as raízes são
    s=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
    O discriminante \Delta=b^{2}-4ac nos diz se as raízes são reais ( \Delta\ge0) ou complexas conjugadas ( \Delta<0).
  • Critério de estabilidade (para sistemas contínuos LTI):
    O sistema é assintoticamente estável se, e somente se, todos os pólos tiverem parte real estritamente negativa (ou seja, todos os pólos no semiplano esquerdo, \operatorname{Re}(s)<0).
    Se existir pelo menos um pólo com \operatorname{Re}(s)>0, o sistema é instável.
    Se houver pólos com \operatorname{Re}(s)=0 (no eixo imaginário) e sem multiplicidade maior que 1, o sistema é marginalmente estável (casos especiais); se houver pólos no eixo imaginário com multiplicidade maior que 1, é instável. (Nenhuma das funções dadas tem polos no eixo imaginário simples exceto como caso a ser observado.)
Agora aplicamos isso função a função, mostrando cálculo e localização dos polos no plano s.

Passo 3

Analisando G_{1}(s)=\dfrac{4}{s+3}.
  • Ordem: o denominador é s+3, polinômio de grau 1. Logo a ordem é 1.
  • Pólos: resolvo
s+3=0 \quad\Rightarrow\quad s=-3.
Então há um pólo único em s=-3. No plano s isso corresponde ao ponto com coordenadas \bigl(-3,\,0\bigr) (parte real -3, parte imaginária 0).
  • Estabilidade: a parte real do pólo é -3<0, então o pólo está no semiplano esquerdo. Como todos os pólos (apenas esse) têm parte real negativa, o sistema é assintoticamente estável.

Passo 4

Analisando G_{2}(s)=\dfrac{4}{s-1}.
  • Ordem: denominador s-1 tem grau 1. Ordem 1.
  • Pólos: resolvo
s-1=0 \quad\Rightarrow\quad s=1.
Pólo em s=1, coordenadas \bigl(1,\,0\bigr).
  • Estabilidade: a parte real do pólo é 1>0, ou seja, o pólo está no semiplano direito. Com pelo menos um pólo com parte real positiva, o sistema é instável.

Passo 5

Analisando G_{3}(s)=\dfrac{5}{s^{2}+4s+8}.
  • Ordem: o denominador é um polinômio de grau 2. Ordem 2.
  • Pólos: aplico a fórmula quadrática com a=1, b=4, c=8:
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot1\cdot8=16-32=-16.
Como \Delta<0, as raízes serão complexas conjugadas. Usando a fórmula:
s=\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-4\pm 4\mathrm{j}}{2}=-2\pm 2\mathrm{j}.
Logo os pólos são s=-2+2\mathrm{j} e s=-2-2\mathrm{j}. No plano s ficam nos pontos \bigl(-2,\,2\bigr) e \bigl(-2,\,-2\bigr).
  • Estabilidade: ambos os pólos têm parte real -2<0. Todos os pólos no semiplano esquerdo ⇒ sistema assintoticamente estável. (Observação física: pares complexos conjugados com parte real negativa implicam respostas oscilatórias amortecidas.)

Passo 6

Analisando G_{4}(s)=\dfrac{s-1}{(s+1)(s-2)}.
  • Ordem: o denominador é (s+1)(s-2) que ao multiplicar dá um polinômio grau 2. Ordem 2.
  • Pólos: resolvo cada fator igual a zero:
s+1=0\quad\Rightarrow\quad s=-1,
s-2=0\quad\Rightarrow\quad s=2.
Portanto há dois pólos reais: s=-1 e s=2, localizados em \bigl(-1,\,0\bigr) e \bigl(2,\,0\bigr).
  • Observação sobre zeros: o numerador s-1 tem um zero em s=1, mas zeros não tornam o sistema instável — só os pólos determinam estabilidade.
  • Estabilidade: como existe um pólo com parte real positiva ( s=2), o sistema é instável.

Passo 7

Analisando G_{5}(s)=\dfrac{2}{s^{2}+3s+1}.
  • Ordem: denominador é grau 2. Ordem 2.
  • Pólos: fórmula quadrática com a=1, b=3, c=1:
\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot1\cdot1=9-4=5>0.
Como \Delta>0, raízes reais distintas:
s=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.
Posso escrever os dois pólos explicitamente:
s_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\qquad s_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}.
Para visualizar melhor, valores numéricos aproximados (apenas para o “plot”): \sqrt{5}\approx 2{,}236, então
s_{1}\approx\frac{-3+2{,}236}{2}=\frac{-0{,}764}{2}\approx-0{,}382,
s_{2}\approx\frac{-3-2{,}236}{2}=\frac{-5{,}236}{2}\approx-2{,}618.
Assim os pólos estão em \bigl(-0{,}381966\ldots,\,0\bigr) e \bigl(-2{,}618034\ldots,\,0\bigr).
  • Estabilidade: ambas as partes reais são negativas, logo os dois pólos estão no semiplano esquerdo e o sistema é assintoticamente estável.

Resposta

G_{1}: ordem 1; polos: s=-3 (em (-3,0)); sistema estável.
G_{2}: ordem 1; polos: s=1 (em (1,0)); sistema instável.
G_{3}: ordem 2; polos: s=-2\pm 2\mathrm{j} (em (-2,2) e (-2,-2)); sistema estável.
G_{4}: ordem 2; polos: s=-1 e s=2 (em (-1,0) e (2,0)); sistema instável.
G_{5}: ordem 2; polos: s=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2} (aprox. -0{,}381966 e -2{,}618034 no eixo real); sistema estável.

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