Pesquise e defina:
a) Sistema estável
b) Sistema instável
a) Sistema estável
b) Sistema instável
Passo 1
O enunciado pede que eu pesquise e defina duas coisas:
a) O que é um sistema estável.
b) O que é um sistema instável.
Não há outras informações fornecidas no enunciado; a tarefa é apresentar definições e explicações que permitam entender e distinguir esses conceitos.
a) O que é um sistema estável.
b) O que é um sistema instável.
Não há outras informações fornecidas no enunciado; a tarefa é apresentar definições e explicações que permitam entender e distinguir esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vou dizer que existem várias noções de “estabilidade” dependendo do contexto (sistemas lineares invariantess no tempo — LTI —, sistemas dinâmicos em espaço de estados, estabilidade de entradas/saídas, etc.). Vou apresentar as definições mais usadas em engenharia e matemática, explicar cada símbolo nas fórmulas e dar exemplos práticos para você entender como usar na prova.
Passo 3
Definição prática 1 — estabilidade entrada/saída (BIBO):
- Idéia: um sistema é “estável” no sentido BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) se toda entrada limitada gera uma saída limitada.
- Definição matemática: considere um sistema com entrada
e saída . Dizemos que o sistema é BIBO-estável se
- Em LTI contínuo, escrevemos a saída como convolução
, onde é a resposta ao impulso. Uma condição suficiente e necessária prática é:
Isso quer dizer: se a resposta ao impulso
é absolutamente integrável, então o sistema LTI é BIBO-estável. Aqui
é a função que descreve a saída quando a entrada é o impulso de Dirac.
- Em LTI discreto, a condição análoga é
onde
é a resposta ao impulso discreta.
- Exemplo concreto: se
(onde é o degrau unitário), então
logo o sistema é BIBO-estável. Já se
para
, então
, e um input limitado constante (por exemplo
) produz
, que vai ao infinito — ou seja, não é BIBO-estável.
Passo 4
Definição prática 2 — estabilidade de equilíbrio (Lyapunov) para sistemas de espaço de estados:
-
Idéia: aqui a estabilidade fala sobre comportamento do estado quando começamos perto de um ponto de equilíbrio (normalmente
). É a noção usada para dinâmica interna do sistema. -
Considere um sistema autônomo
com ponto de equilíbrio em . As definições principais são: - Estabilidade de Lyapunov (ou simplesmente estabilidade):
Aquié a norma do vetor estado (por exemplo norma Euclidiana). Essa definição significa: se você começar suficientemente perto do equilíbrio, a solução ficará perto para todo o tempo (não escapa). - Estabilidade assintótica: é estabilidade de Lyapunov mais atração:
- Estabilidade exponencial (reforço): existem
e tais que
para todos(dá uma taxa de decaimento). -
Exemplo simples linear contínuo:
(estado escalar). Aqui . - Se
, então e o equilíbrio é assintoticamente estável. - Se
, então e o equilíbrio é estável (não cresce), mas não assintoticamente estável (não converge a zero). - Se
, então para : instável.
- Se
Passo 5
Ligação entre as noções para sistemas lineares LTI em espaço de estados:
-
Para um sistema linear contínuo
: - O equilíbrio
é assintoticamente estável se e somente se todas as autovalores de têm parte real negativa:
- Se existe ao menos um autovalor com
, o sistema é instável. - Se todos têm
mas há autovalores com (e estes não são simples ou geram modos que crescem polinomialmente), o sistema pode ser marginalmente estável (nem assintoticamente estável, nem obviamente instável). Em provas, normalmente você precisa verificar multiplicidade e formas de Jordan.
- O equilíbrio
-
Em tempo discreto
: a condição é que todos os autovalores de estejam dentro do círculo unitário:
Passo 6
O que significa “sistema instável” nas práticas que você vai encontrar na prova:
- Instabilidade BIBO: existe alguma entrada limitada
tal que a saída fica ilimitada. Em LTI, isto ocorre quando a resposta ao impulso não é absolutamente integrável/sommável. Exemplo prático: resposta ao impulso constante gera acumulação e saída cresce indefinidamente. - Instabilidade interna (Lyapunov): pequenas perturbações do estado se amplificam com o tempo — em LTI detecta-se por autovalores com parte real positiva (contínuo) ou módulo maior que 1 (discreto).
Na prova, se te pedirem só “defina sistema instável”, diga que é aquele que viola a estabilidade relevante: ou BIBO (entrada limitada gera saída não limitada) ou Lyapunov (equilíbrio não é estável).
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (práticas e fáceis de lembrar):
- Se o enunciado fala de entrada/saída, responda com a definição BIBO e mostre a condição sobre
ou . - Se o enunciado fala de dinâmica, estados ou equílibrio, use Lyapunov (definição
- ) e, no caso linear, cheque autovalores de . - Exemplos simples que caem bem na prova:
(estável assintoticamente), (instável), LTI com (BIBO-estável), para (não BIBO-estável).
Resposta
(a) Sistema estável: um sistema é estável se, conforme o contexto, satisfaz a propriedade de estabilidade correspondente — por exemplo, em entrada/saída (BIBO) significa que para toda entrada limitada
a saída
é limitada; em LTI contínuo isso equivale a
. Em espaço de estados (Lyapunov), o equilíbrio
é estável se para todo
existe
tal que
implica
para todo
; é assintoticamente estável se, além disso,
.
(b) Sistema instável: um sistema é instável se viola a definição de estabilidade usada — por exemplo, em BIBO significa que existe uma entrada limitada que produz uma saída
não limitada; em espaço de estados significa que pequenas perturbações do equilíbrio podem crescer com o tempo (na forma linear, existe pelo menos um autovalor com
no contínuo, ou
no discreto).
(b) Sistema instável: um sistema é instável se viola a definição de estabilidade usada — por exemplo, em BIBO significa que existe uma entrada limitada