Pesquise e defina:
a) Sistema estável
b) Sistema instável

Passo 1

O enunciado pede que eu pesquise e defina duas coisas:
a) O que é um sistema estável.
b) O que é um sistema instável.
Não há outras informações fornecidas no enunciado; a tarefa é apresentar definições e explicações que permitam entender e distinguir esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vou dizer que existem várias noções de “estabilidade” dependendo do contexto (sistemas lineares invariantess no tempo — LTI —, sistemas dinâmicos em espaço de estados, estabilidade de entradas/saídas, etc.). Vou apresentar as definições mais usadas em engenharia e matemática, explicar cada símbolo nas fórmulas e dar exemplos práticos para você entender como usar na prova.

Passo 3

Definição prática 1 — estabilidade entrada/saída (BIBO):
  • Idéia: um sistema é “estável” no sentido BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) se toda entrada limitada gera uma saída limitada.
  • Definição matemática: considere um sistema com entrada u(t) e saída y(t). Dizemos que o sistema é BIBO-estável se
\text{para todo } u(t) \text{ com } \sup_{t}|u(t)|<\infty \quad \Rightarrow \quad \sup_{t}|y(t)|<\infty.
  • Em LTI contínuo, escrevemos a saída como convolução y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,u(t-\tau)\,d\tau, onde h(t) é a resposta ao impulso. Uma condição suficiente e necessária prática é:
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
Isso quer dizer: se a resposta ao impulso h(t) é absolutamente integrável, então o sistema LTI é BIBO-estável. Aqui h(t) é a função que descreve a saída quando a entrada é o impulso de Dirac.
  • Em LTI discreto, a condição análoga é
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty,
onde h[n] é a resposta ao impulso discreta.
  • Exemplo concreto: se h(t)=e^{-t}u(t) (onde u(t) é o degrau unitário), então
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1 < \infty,
logo o sistema é BIBO-estável. Já se h(t)=1 para t\ge0, então \int_0^\infty 1\,dt = \infty, e um input limitado constante (por exemplo u(t)=1) produz y(t)=\int_0^t 1\cdot1\,d\tau = t, que vai ao infinito — ou seja, não é BIBO-estável.

Passo 4

Definição prática 2 — estabilidade de equilíbrio (Lyapunov) para sistemas de espaço de estados:
  • Idéia: aqui a estabilidade fala sobre comportamento do estado quando começamos perto de um ponto de equilíbrio (normalmente x=0). É a noção usada para dinâmica interna do sistema.
  • Considere um sistema autônomo \dot{x}=f(x) com ponto de equilíbrio em x=0. As definições principais são:
    1. Estabilidade de Lyapunov (ou simplesmente estabilidade):
    \text{Para todo } \epsilon>0 \text{ existe } \delta>0 \text{ tal que se } \|x(0)\|<\delta \text{ então } \|x(t)\|<\epsilon\\ \text{ para todo } t\ge 0.ã
    Aqui \|x\| é a norma do vetor estado (por exemplo norma Euclidiana). Essa definição significa: se você começar suficientemente perto do equilíbrio, a solução ficará perto para todo o tempo (não escapa).
    1. Estabilidade assintótica: é estabilidade de Lyapunov mais atração:
    \text{o sistema é assintoticamente estável se é estável (Lyapunov) e } \lim_{t\to\infty} x(t)=0 \text{ para todas as } x(0) \text{ suficientemente pequenas.}éáéá
    1. Estabilidade exponencial (reforço): existem M\ge1 e \alpha>0 tais que
    \|x(t)\| \le M e^{-\alpha t} \|x(0)\|
    para todos t\ge0 (dá uma taxa de decaimento).
  • Exemplo simples linear contínuo: \dot{x}=a x (estado escalar). Aqui x(t)=x(0)e^{a t}.
    • Se a<0, então e^{a t}\to0 e o equilíbrio é assintoticamente estável.
    • Se a=0, então x(t)=x(0) e o equilíbrio é estável (não cresce), mas não assintoticamente estável (não converge a zero).
    • Se a>0, então x(t)\to\infty para x(0)\neq0: instável.

Passo 5

Ligação entre as noções para sistemas lineares LTI em espaço de estados:
  • Para um sistema linear contínuo \dot{x}=A x:
    • O equilíbrio x=0 é assintoticamente estável se e somente se todas as autovalores \lambda de A têm parte real negativa:
    \Re(\lambda)<0 \quad\text{para todo autovalor }\lambda\text{ de }A.
    • Se existe ao menos um autovalor com \Re(\lambda)>0, o sistema é instável.
    • Se todos têm \Re(\lambda)\le 0 mas há autovalores com \Re(\lambda)=0 (e estes não são simples ou geram modos que crescem polinomialmente), o sistema pode ser marginalmente estável (nem assintoticamente estável, nem obviamente instável). Em provas, normalmente você precisa verificar multiplicidade e formas de Jordan.
  • Em tempo discreto (x[k+1]=A x[k]): a condição é que todos os autovalores de A estejam dentro do círculo unitário:
|\lambda|<1 \text{ para assimptoticidade};\quad |\lambda|>1 \Rightarrow \text{instável}.á

Passo 6

O que significa “sistema instável” nas práticas que você vai encontrar na prova:
  • Instabilidade BIBO: existe alguma entrada limitada u tal que a saída y fica ilimitada. Em LTI, isto ocorre quando a resposta ao impulso h não é absolutamente integrável/sommável. Exemplo prático: resposta ao impulso constante gera acumulação e saída cresce indefinidamente.
  • Instabilidade interna (Lyapunov): pequenas perturbações do estado se amplificam com o tempo — em LTI detecta-se por autovalores com parte real positiva (contínuo) ou módulo maior que 1 (discreto).
    Na prova, se te pedirem só “defina sistema instável”, diga que é aquele que viola a estabilidade relevante: ou BIBO (entrada limitada gera saída não limitada) ou Lyapunov (equilíbrio não é estável).

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (práticas e fáceis de lembrar):
  • Se o enunciado fala de entrada/saída, responda com a definição BIBO e mostre a condição sobre h(t) ou h[n].
  • Se o enunciado fala de dinâmica, estados ou equílibrio, use Lyapunov (definição \epsilon- \delta) e, no caso linear, cheque autovalores de A.
  • Exemplos simples que caem bem na prova: \dot{x}=-x (estável assintoticamente), \dot{x}=+x (instável), LTI com h(t)=e^{-t}u(t) (BIBO-estável), h(t)=1 para t\ge0 (não BIBO-estável).

Resposta

(a) Sistema estável: um sistema é estável se, conforme o contexto, satisfaz a propriedade de estabilidade correspondente — por exemplo, em entrada/saída (BIBO) significa que para toda entrada limitada u a saída y é limitada; em LTI contínuo isso equivale a \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|\,dt<\infty. Em espaço de estados (Lyapunov), o equilíbrio x=0 é estável se para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que \|x(0)\|<\delta implica \|x(t)\|<\epsilon para todo t\ge0; é assintoticamente estável se, além disso, \lim_{t\to\infty}x(t)=0.
(b) Sistema instável: um sistema é instável se viola a definição de estabilidade usada — por exemplo, em BIBO significa que existe uma entrada limitada u que produz uma saída y não limitada; em espaço de estados significa que pequenas perturbações do equilíbrio podem crescer com o tempo (na forma linear, existe pelo menos um autovalor com \Re(\lambda)>0 no contínuo, ou |\lambda|>1 no discreto).

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