Para cada função vetorial dada determine a derivada no ponto dado.
F(t)=\left(\sin (5 t), \cos (4 t),-e^{-2 t}\right), t=\pi,

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
F(t)=\bigl(\sin(5t),\;\cos(4t),\;-e^{-2t}\bigr)
e pede F'(\pi). O conteúdo envolve derivação de funções vetoriais componente a componente, usando regras padrão (cadeia e exponencial).

Passo 2

Vamos derivar cada componente de F(t). Usamos que \frac{d}{dt}\sin(5t)=5\cos(5t), \frac{d}{dt}\cos(4t)=-4\sin(4t) e \frac{d}{dt}(-e^{-2t})=2e^{-2t}. Assim,
F'(t)=\bigl(5\cos(5t),\;-4\sin(4t),\;2e^{-2t}\bigr).

Passo 3

Substituindo t=\pi em cada componente:
\cos(5\pi)=\cos(\pi+4\pi)=\cos(\pi)=-1, \qquad \sin(4\pi)=0,
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F'(\pi)=\bigl(5\cdot(-1),\;-4\cdot0,\;2e^{-2\pi}\bigr)=(-5,\,0,\,2e^{-2\pi}).

Resposta

F'(\pi)=(-5,\,0,\,2e^{-2\pi}).

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