Determine uma equação paramétrica da reta tangente às curvas nos pontos indicados.
\beta(t)=\left(\frac{1}{t}, t, t^{2}\right), t=-1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva paramétrica \beta(t)=\bigl(\tfrac{1}{t},\,t,\,t^{2}\bigr) no ponto correspondente a t=-1. O conteúdo é derivada de curvas em \mathbb{R}^{3}: para achar a reta tangente, precisamos do ponto \beta(-1) e do vetor tangente \beta'(-1).

Passo 2

Calculamos a derivada de cada componente de \beta(t):
\beta'(t) = \left(-\frac{1}{t^{2}},\;1,\;2t\right).

Passo 3

Em t=-1 obtemos o ponto e o vetor tangente:
\beta(-1)=\Bigl(\tfrac{1}{-1},\,-1,\,(-1)^{2}\Bigr)=(-1,\,-1,\,1),
\beta'(-1)=\Bigl(-\tfrac{1}{(-1)^{2}},\,1,\,2(-1)\Bigr)=(-1,\,1,\,-2).

Passo 4

A equação vetorial da reta tangente, usando parâmetro s, é
\mathbf{r}(s)=(-1,\,-1,\,1)+s\,(-1,\,1,\,-2).

Resposta

Uma forma equivalente em coordenadas é:
\begin{cases} x(s)=-1 - s,\\\ y(s)=-1 + s,\\\ z(s)=1 - 2s. \end{cases}

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