Para cada função vetorial dada determine a derivada no ponto dado.
F(t)=\left(6 t\left(1+t^{2}\right)^{-1}, 6 t^{2}\left(1+t^{2}\right)^{-1}\right), t=\frac{1}{2},

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
F(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr)
com
x(t) = 6t\,(1+t^2)^{-1}, \quad y(t) = 6t^2\,(1+t^2)^{-1},
avaliada em t = \tfrac12. Vamos usar a regra do quociente para cada componente.

Passo 2

Derivamos x(t) por quociente. Se
x(t) = \frac{6t}{1+t^2},
então
x'(t) = \frac{6\,(1+t^2) - 6t\cdot 2t}{(1+t^2)^2} = \frac{6 + 6t^2 - 12t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{6(1 - t^2)}{(1+t^2)^2}.

Passo 3

Derivamos y(t) por quociente. Se
y(t) = \frac{6t^2}{1+t^2},
então
y'(t) = \frac{12t\,(1+t^2) - 6t^2\cdot 2t}{(1+t^2)^2} = \frac{12t + 12t^3 - 12t^3}{(1+t^2)^2} = \frac{12t}{(1+t^2)^2}.

Passo 4

Com isso, a derivada vetorial geral é
F'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr) = \left(\frac{6(1 - t^2)}{(1+t^2)^2},\;\frac{12t}{(1+t^2)^2}\right).

Passo 5

Agora avaliamos em t = \tfrac12. Temos
1 - t^2 = 1 - \tfrac14 = \tfrac34, \qquad 1 + t^2 = 1 + \tfrac14 = \tfrac54,
(1+t^2)^2 = \bigl(\tfrac54\bigr)^2 = \tfrac{25}{16}.
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x'\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{6\cdot \tfrac34}{\tfrac{25}{16}} = \frac{\tfrac{18}{4}}{\tfrac{25}{16}} = \frac{18}{4}\cdot\frac{16}{25} = \frac{72}{25},
y'\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{12\cdot \tfrac12}{\tfrac{25}{16}} = \frac{6}{1}\cdot\frac{16}{25} = \frac{96}{25}.

Resposta

F'\Bigl(\tfrac12\Bigr) = \bigl(\tfrac{72}{25},\,\tfrac{96}{25}\bigr).

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