Determine o domínio das funções vetorias.
F(t)=\left(\sqrt{t+1}, \frac{t-1}{t^{2}-1}, \frac{\tan t}{t}\right).

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial
F(t)=\bigl(\sqrt{t+1},\;\frac{t-1}{t^{2}-1},\;\frac{\tan t}{t}\bigr).
Aqui vamos determinar o domínio de cada componente e depois intersectar esses domínios.

Passo 2

Para \sqrt{t+1} precisamos que o radicando seja não negativo:
t+1 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad t \ge -1.

Passo 3

Para \frac{t-1}{t^{2}-1} o denominador não pode ser zero:
t^{2}-1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad t \neq \pm 1.

Passo 4

Para \frac{\tan t}{t} há duas restrições:
  1. O denominador t não pode ser zero, logo t\neq 0.
  2. \tan t só existe quando \cos t\neq 0, isto é
t \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Agora intersectamos tudo:
  • De \sqrt{t+1} vem t\ge -1.
  • De \tfrac{t-1}{t^{2}-1} vem t\neq \pm 1.
  • De \tfrac{\tan t}{t} vem t\neq 0 e t\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi.
Repare que t\ge -1 e t\neq -1 (já que -1 faz t^2-1=0), implicam t>-1.

Resposta

D = \bigl\{\,t\in\mathbb{R}\mid t>-1,\;t\neq 0,\;t\neq 1,\;\cos t\neq 0\}\;=\; (-1,\infty)\setminus\bigl(\{0,1\}\;\cup\;\{\tfrac\pi2 + k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\}\bigr).

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