Para cada função vetorial dada determine a derivada no ponto dado.
F(t)=(\sin t, \sin (2 t)), t=\frac{\pi}{6},

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial F(t)=(\sin t,\sin(2t)) e pede a derivada no ponto t=\frac{\pi}{6}. Para isso, precisamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas e a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicamos a derivada componente a componente: a derivada de \sin t é \cos t, e a derivada de \sin(2t) aplica a regra da cadeia, dando \cos(2t)\cdot2. Assim, obtemos
F'(t)=(\cos t,\,2\cos(2t)).

Passo 3

Para avaliar em t=\frac{\pi}{6}, calculamos \cos\bigl(\frac{\pi}{6}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2} e \cos\bigl(2\cdot\frac{\pi}{6}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\frac{1}{2}. Logo,
F'\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\,2\cdot\tfrac{1}{2}\Bigr)=(\tfrac{\sqrt{3}}{2},1).

Resposta

(\tfrac{\sqrt{3}}{2},1)

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