Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\arctan (x / 2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\arctan\bigl(x/2\bigr). Para resolver, vamos usar a regra da cadeia: se f(x)=\arctan(u(x)), então
f'(x)=\frac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{x}{2}
e calculamos sua derivada:
u'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)=\frac{1}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da regra da cadeia:
f'(x) =\frac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}} =\frac{\tfrac{1}{2}}{1+\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^{2}} =\frac{\tfrac{1}{2}}{1+\tfrac{x^{2}}{4}} =\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{4+x^{2}}{4}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{4+x^{2}} =\frac{2}{4+x^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{x^{2}+4}.

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