Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\frac{x^{2}-4 x}{\sqrt{4-x^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}-4x}{\sqrt{4-x^{2}}}
O conteúdo principal aqui envolve usar a regra do produto (ou quociente) e a regra da cadeia para funções potência e radicais.

Passo 2

Reescrevemos f como produto de duas funções:
u(x)=x^{2}-4x, \quad v(x)=(4-x^{2})^{-\tfrac12}.
Calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=2x-4, \quad v'(x)=-\tfrac12\,(4-x^{2})^{-\tfrac32}\cdot(-2x) =\;x\,(4-x^{2})^{-\tfrac32}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto f'=u'v+uv', obtemos
f'(x) =(2x-4)\,(4-x^{2})^{-\tfrac12} +(x^{2}-4x)\;x\,(4-x^{2})^{-\tfrac32}.

Passo 4

Colocamos tudo sobre o denominador comum (4-x^{2})^{3/2}:
f'(x) =\frac{(2x-4)(4-x^{2})+x(x^{2}-4x)}{(4-x^{2})^{\tfrac32}}.
Expandindo o numerador:
(2x-4)(4-x^{2})=-2x^{3}+4x^{2}+8x-16, \quad x(x^{2}-4x)=x^{3}-4x^{2},
logo a soma dá
-2x^{3}+4x^{2}+8x-16 \;+\; x^{3}-4x^{2} =\;-x^{3}+8x-16.

Resposta

f'(x) =\frac{-x^{3}+8x-16}{(4-x^{2})^{\tfrac32}}.

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