Seja f(x, y, z)=x^{2} y+y z^{3}. Calcule a derivada direcional de f no ponto P=(1,2,0) na direção do vetor \mathbf{v}=(2,-2,1). (1.0 pt.)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=x^2y+yz^3,
o ponto P=(1,2,0) e o vetor \mathbf{v}=(2,-2,1). Queremos a derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{v}, que se obtém por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
onde \mathbf{u}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\| é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

Calculemos primeiro o gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^2+z^3,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=3yz^2.
Em P=(1,2,0) isso vale
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_P=2\cdot1\cdot2=4,\quad \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_P=1^2+0=1,\quad \frac{\partial f}{\partial z}\bigg|_P=3\cdot2\cdot0=0,
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\nabla f(P)=(4,1,0).

Passo 3

Agora normalizamos \mathbf{v}. Seu módulo é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9}=3,
então o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr).

Passo 4

Finalmente, a derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} =4\cdot\tfrac{2}{3}+1\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)+0\cdot\tfrac{1}{3} =\frac{8-2}{3}=\frac{6}{3}=2.

Resposta

2

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