Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=-x^{4}-x^{3}-2 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=-x^{4}-x^{3}-2x^{2}
e pede, para essa função:
  • Determinar o domínio de f(x).
  • Encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
  • Encontrar pontos de inflexão, se existirem.
  • Determinar as regiões de crescimento e decrescimento.
  • Estudar a concavidade (onde é côncava para cima/baixo).
  • Verificar se há assíntotas verticais e/ou horizontais.
  • Traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f).
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • A função é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal negativo (o termo -x^4).
  • Não há outras informações no enunciado além da expressão algébrica da função.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada primeira f'(x). Antes de calcular, um lembrete rápido (regra que vou usar):
  • Regra do poder (power rule): se g(x)=x^n então g'(x)=n x^{n-1}.
    Aplicando termo a termo em f(x)=-x^{4}-x^{3}-2x^{2}:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2}\bigr).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{4}\bigr)=-4x^{3},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}\bigr)=-3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2}\bigr)=-4x.
Somando:
f'(x)=-4x^{3}-3x^{2}-4x.

Passo 3

Vamos fatorar f'(x) para achar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida). Aqui f' é polinômio, então está definida em todo \mathbb{R}. Fatorando:
f'(x)=-4x^{3}-3x^{2}-4x = -x(4x^{2}+3x+4).
Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0, ou seja:
-x(4x^{2}+3x+4)=0.
Isto dá duas possibilidades:
  • x=0.
  • 4x^{2}+3x+4=0.
Agora resolvemos a quadrática 4x^{2}+3x+4=0. Usamos o discriminante \Delta=b^{2}-4ac com a=4, b=3, c=4:
\Delta=3^{2}-4\cdot4\cdot4=9-64=-55.
Como \Delta<0, a equação quadrática não tem raízes reais. Logo a única raiz real de f'(x)=0 é
x=0.
Portanto existe exatamente um ponto crítico real: x=0. O ponto crítico corresponde ao ponto \bigl(0,f(0)\bigr). Calculando f(0):
f(0)=-0-0-0=0.
Logo o ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Para classificar o ponto crítico usamos a derivada segunda f''(x). Lembrete da ideia: se f''(x_0)>0 a função é côncava para cima em x_0 e o ponto crítico é mínimo local; se f''(x_0)<0 é côncava para baixo e o ponto é máximo local; se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo e pode haver pontos de inflexão.
Calculando f''(x) derivando f'(x)=-4x^{3}-3x^{2}-4x:
f''(x)=-12x^{2}-6x-4 = -(12x^{2}+6x+4).
Agora avaliamos em x=0:
f''(0)=-(12\cdot0^{2}+6\cdot0+4)=-4<0.
Como f''(0)<0, o ponto (0,0) é um ponto de máximo local. Mais: teremos que verificar se é máximo absoluto, que faremos depois analisando o comportamento para x\to\pm\infty.

Passo 5

Estudo do sinal de f'(x) (crescimento/decrescimento). Já temos a fatoração
f'(x)=-x(4x^{2}+3x+4).
Observação importante sobre o fator quadrático 4x^{2}+3x+4:
  • Já calculamos seu discriminante e vimos que \Delta=-55<0. Isso significa que 4x^{2}+3x+4 não possui raízes reais.
  • Como o coeficiente de x^{2} é 4>0, a quadrática é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R}. Portanto
4x^{2}+3x+4>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Assim o sinal de f'(x) é controlado apenas pelo fator -x:
  • Se x<0 então -x>0 e, multiplicando por algo positivo, f'(x)>0. Logo f é crescente em (-\infty,0).
  • Se x>0 então -x<0 e f'(x)<0. Logo f é decrescente em (0,\infty).
  • Em x=0 temos f'(0)=0.
Portanto:
  • Crescimento: f é crescente em (-\infty,0).
  • Decrescimento: f é decrescente em (0,\infty).
Como a função cresce até x=0 e depois decresce, o ponto em x=0 é um máximo. Para avaliar se é máximo absoluto, olhamos o comportamento para x\to\pm\infty.

Passo 6

Comportamento para x\to\pm\infty (limites e imagem). Como f é um polinômio cujo termo de maior grau é -x^{4} (grau par com coeficiente negativo), o termo dominante para |x| grande é -x^{4}. Assim:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Isto mostra que a função atinge valores arbitrariamente negativos para |x| grande, enquanto no ponto crítico x=0 obtivemos f(0)=0. Logo o valor 0 é maior ou igual a todos os valores da função; isto implica que o máximo em (0,0) é também máximo absoluto. Não existe mínimo absoluto finito, pois f tende a -\infty.
Consequentemente a imagem (o conjunto de valores) da função é
\operatorname{Im}(f)=(-\infty,0].

Passo 7

Estudo de concavidade e pontos de inflexão de forma global. Já temos f''(x)=-(12x^{2}+6x+4).
Analisemos o sinal de f'':
  • O polinômio 12x^{2}+6x+4 tem discriminante \Delta=6^{2}-4\cdot12\cdot4=36-192=-156<0. Coeficiente de x^{2} é 12>0, então 12x^{2}+6x+4>0 para todo x.
  • Assim f''(x)=-(12x^{2}+6x+4)<0 para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusões:
  • A função é côncava para baixo em todo o domínio (-\infty,\infty).
  • Não existem pontos de inflexão, porque um ponto de inflexão ocorre quando a concavidade muda de sinal (ou seja, quando f''(x)=0 com troca de sinal). Aqui f''(x) nunca é zero e nunca muda de sinal.

Passo 8

Assíntotas. Regras e aplicação:
  • Assíntotas verticais ocorrem quando a função não está definida em algum x e o limite lateral diverge; mas f é polinômio e está definida para todo x. Logo não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais existem se \lim_{x\to\pm\infty}f(x) for finito. Aqui esses limites são -\infty, não finitos. Portanto não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas oblíquas (lineares) podem ocorrer para funções racionais quando o grau do numerador é exatamente 1 maior que o do denominador; para polinômios de grau \ge2 a noção usual de assíntota linear não se aplica (o termo dominante tende a \pm\infty). Portanto não há assíntotas lineares no sentido usual.
Resumo: não há assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas.

Passo 9

Ajuda prática para traçar o gráfico (pontos e forma). Vou listar alguns pontos fáceis para visualizar e depois descrever a forma:
  • f(0)=0.
  • f(1)=-1-1-2=-4, então (1,-4).
  • f(-1)=-1+1-2=-2, então (-1,-2).
  • f(2)=-16-8-8=-32, então (2,-32).
  • f(-2)=-16+8-8=-16, então (-2,-16).
Forma do gráfico (resumo para desenhar à mão):
  • Para x\to-\infty a função vai para -\infty.
  • A partir de -\infty sobe (é crescente) até atingir o ponto máximo em (0,0).
  • Em x=0 tem o ponto mais alto do gráfico (máximo absoluto).
  • Para x>0 desce (é decrescente) e volta a -\infty quando x\to+\infty.
  • Além disso, o gráfico é côncavo para baixo em toda parte (forma de “cúpula” voltada para baixo), sem mudança de concavidade.
    Um esboço mental: uma única crista (pico) em (0,0), simétria não perfeita (não é par nem ímpar), decai rapidamente para valores negativos para |x| grandes por causa do termo -x^{4}.

Passo 10

Recapitulando tudo com interpretações didáticas (passo-a-passo de como fazer na prova):
  • Derive a função usando a regra do poder termo a termo.
  • Fatore a derivada para encontrar pontos críticos; verifique discriminantes de quadráticas para saber se têm raízes reais.
  • Use o sinal dos fatores (cartilha de sinais) para obter intervalos de crescimento/decrescimento.
  • Calcule a derivada segunda e avalie nos pontos críticos (teste da segunda derivada) para classificar extremos; também use f'' para estudar concavidade e localizar possíveis pontos de inflexão.
  • Verifique limites em \pm\infty para classificar máximos/minimos absolutos e assíntotas.
  • Para desenhar, calcule alguns pontos de referência e combine com informações de monotonicidade e concavidade.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Pontos de máximo/minimo: máximo relativo e absoluto em (0,0). Não há mínimos relativos finitos; não existe mínimo absoluto (o infimum é -\infty).
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão reais.
Regiões de crescimento/decrescimento: f é crescente em (-\infty,0) e decrescente em (0,\infty).
Concavidade: f é côncava para baixo em todo \mathbb{R} (ou seja, f''(x)<0 para todo x).
Assíntotas: não há assíntotas verticais nem horizontais (nem oblíquas).
Imagem (conjunto-valor): (-\infty,0].

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