Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede, para essa função:
- Determinar o domínio de
. - Encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
- Encontrar pontos de inflexão, se existirem.
- Determinar as regiões de crescimento e decrescimento.
- Estudar a concavidade (onde é côncava para cima/baixo).
- Verificar se há assíntotas verticais e/ou horizontais.
- Traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
).
Informações úteis que já temos do enunciado:
- A função é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal negativo (o termo
). - Não há outras informações no enunciado além da expressão algébrica da função.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada primeira
. Antes de calcular, um lembrete rápido (regra que vou usar):
- Regra do poder (power rule): se
então .
Aplicando termo a termo em:
Calculando cada derivada:
Somando:
Passo 3
Vamos fatorar
para achar pontos críticos (onde
ou
indefinida). Aqui
é polinômio, então está definida em todo
. Fatorando:
Os pontos críticos satisfazem
, ou seja:
Isto dá duas possibilidades:
-
. -
.
Agora resolvemos a quadrática
. Usamos o discriminante
com
,
,
:
Como
, a equação quadrática não tem raízes reais. Logo a única raiz real de
é
Portanto existe exatamente um ponto crítico real:
. O ponto crítico corresponde ao ponto
. Calculando
:
Logo o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos a derivada segunda
. Lembrete da ideia: se
a função é côncava para cima em
e o ponto crítico é mínimo local; se
é côncava para baixo e o ponto é máximo local; se
o teste é inconclusivo e pode haver pontos de inflexão.
Calculando
derivando
:
Agora avaliamos em
:
Como
, o ponto
é um ponto de máximo local. Mais: teremos que verificar se é máximo absoluto, que faremos depois analisando o comportamento para
.
Passo 5
Estudo do sinal de
(crescimento/decrescimento). Já temos a fatoração
Observação importante sobre o fator quadrático
:
- Já calculamos seu discriminante e vimos que
. Isso significa que não possui raízes reais. - Como o coeficiente de
é , a quadrática é sempre positiva para todo . Portanto
Assim o sinal de
é controlado apenas pelo fator
:
- Se
então e, multiplicando por algo positivo, . Logo é crescente em . - Se
então e . Logo é decrescente em . - Em
temos .
Portanto:
- Crescimento:
é crescente em . - Decrescimento:
é decrescente em .
Como a função cresce até
e depois decresce, o ponto em
é um máximo. Para avaliar se é máximo absoluto, olhamos o comportamento para
.
Passo 6
Comportamento para
(limites e imagem). Como
é um polinômio cujo termo de maior grau é
(grau par com coeficiente negativo), o termo dominante para
grande é
. Assim:
Isto mostra que a função atinge valores arbitrariamente negativos para
grande, enquanto no ponto crítico
obtivemos
. Logo o valor
é maior ou igual a todos os valores da função; isto implica que o máximo em
é também máximo absoluto. Não existe mínimo absoluto finito, pois
tende a
.
Consequentemente a imagem (o conjunto de valores) da função é
Passo 7
Estudo de concavidade e pontos de inflexão de forma global. Já temos
.
Analisemos o sinal de :
Analisemos o sinal de
- O polinômio
tem discriminante . Coeficiente de é , então para todo . - Assim
para todo .
Conclusões:
- A função é côncava para baixo em todo o domínio
. - Não existem pontos de inflexão, porque um ponto de inflexão ocorre quando a concavidade muda de sinal (ou seja, quando
com troca de sinal). Aqui nunca é zero e nunca muda de sinal.
Passo 8
Assíntotas. Regras e aplicação:
- Assíntotas verticais ocorrem quando a função não está definida em algum
e o limite lateral diverge; mas é polinômio e está definida para todo . Logo não há assíntotas verticais. - Assíntotas horizontais existem se
for finito. Aqui esses limites são , não finitos. Portanto não há assíntotas horizontais. - Assíntotas oblíquas (lineares) podem ocorrer para funções racionais quando o grau do numerador é exatamente 1 maior que o do denominador; para polinômios de grau
a noção usual de assíntota linear não se aplica (o termo dominante tende a ). Portanto não há assíntotas lineares no sentido usual.
Resumo: não há assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas.
Passo 9
Ajuda prática para traçar o gráfico (pontos e forma). Vou listar alguns pontos fáceis para visualizar e depois descrever a forma:
-
. -
, então . -
, então . -
, então . -
, então .
Forma do gráfico (resumo para desenhar à mão):
- Para
a função vai para . - A partir de
sobe (é crescente) até atingir o ponto máximo em . - Em
tem o ponto mais alto do gráfico (máximo absoluto). - Para
desce (é decrescente) e volta a quando . - Além disso, o gráfico é côncavo para baixo em toda parte (forma de “cúpula” voltada para baixo), sem mudança de concavidade.
Um esboço mental: uma única crista (pico) em, simétria não perfeita (não é par nem ímpar), decai rapidamente para valores negativos para grandes por causa do termo .
Passo 10
Recapitulando tudo com interpretações didáticas (passo-a-passo de como fazer na prova):
- Derive a função usando a regra do poder termo a termo.
- Fatore a derivada para encontrar pontos críticos; verifique discriminantes de quadráticas para saber se têm raízes reais.
- Use o sinal dos fatores (cartilha de sinais) para obter intervalos de crescimento/decrescimento.
- Calcule a derivada segunda e avalie nos pontos críticos (teste da segunda derivada) para classificar extremos; também use
para estudar concavidade e localizar possíveis pontos de inflexão. - Verifique limites em
para classificar máximos/minimos absolutos e assíntotas. - Para desenhar, calcule alguns pontos de referência e combine com informações de monotonicidade e concavidade.
Resposta
Domínio:
.
Pontos de máximo/minimo: máximo relativo e absoluto em . Não há mínimos relativos finitos; não existe mínimo absoluto (o infimum é
).
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão reais.
Regiões de crescimento/decrescimento: é crescente em
e decrescente em
.
Concavidade: é côncava para baixo em todo
(ou seja,
para todo
).
Assíntotas: não há assíntotas verticais nem horizontais (nem oblíquas).
Imagem (conjunto-valor): .
Pontos de máximo/minimo: máximo relativo e absoluto em
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão reais.
Regiões de crescimento/decrescimento:
Concavidade:
Assíntotas: não há assíntotas verticais nem horizontais (nem oblíquas).
Imagem (conjunto-valor):