Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão a ser avaliada é
. - Fazendo a substituição direta
obtém-se , ou seja, é uma forma indeterminada do tipo . - Como apareceu
, podemos pensar em usar a regra de L’Hospital (conforme pedido).
Passo 2
Relembrando a regra de L’Hospital (de forma didática):
- Suponha que
e sejam funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente em ) e que ou ambos divergem para infinito quando . - Se o limite
existe (finito ou infinito) e próximo de , então
O que isto significa na prática: quando temos uma situação
(ou
), frequentemente é mais simples derivar numerador e denominador e calcular o limite da nova razão. As letras
e
representam o numerador e o denominador da razão original;
e
são as suas derivadas.
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hospital ao nosso limite:
- Identificamos
e . - Calculamos as derivadas:
- Derivada de
: a derivada de é ; a derivada de é . Logo
- Derivada de
: . Logo
- Derivada de
- Pela regra de L’Hospital,
Aqui as hipóteses de L’Hospital estão satisfeitas porque
,
e
são diferenciáveis em todo ponto, e o limite da razão das derivadas existe (vermos a seguir).
Passo 4
Avaliação do limite da razão das derivadas por substituição direta:
- Quando
, -
, -
.
-
- Portanto
Logo o limite pedido vale
.
Passo 5
Comentário adicional (checagem rápida): usando identidade hiperbólica,
. Como
e
quando
, a razão
tende a
, confirmando o resultado anterior.