Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{y \rightarrow 0} \frac{e^{y}-e^{-y}}{\operatorname{sen}(y)}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{y\to 0}\frac{e^{y}-e^{-y}}{\operatorname{sen}(y)}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{e^{y}-e^{-y}}{\operatorname{sen}(y)}.
  • Fazendo a substituição direta y=0 obtém-se \dfrac{e^{0}-e^{0}}{\operatorname{sen}(0)}=\dfrac{0}{0}, ou seja, é uma forma indeterminada do tipo 0/0.
  • Como apareceu 0/0, podemos pensar em usar a regra de L’Hospital (conforme pedido).

Passo 2

Relembrando a regra de L’Hospital (de forma didática):
  • Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto a (exceto possivelmente em a) e que f(a)=g(a)=0 ou ambos divergem para infinito quando x\to a.
  • Se o limite \displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (finito ou infinito) e g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
O que isto significa na prática: quando temos uma situação 0/0 (ou \infty/\infty), frequentemente é mais simples derivar numerador e denominador e calcular o limite da nova razão. As letras f e g representam o numerador e o denominador da razão original; f' e g' são as suas derivadas.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital ao nosso limite:
  • Identificamos f(y)=e^{y}-e^{-y} e g(y)=\operatorname{sen}(y).
  • Calculamos as derivadas:
    • Derivada de f: a derivada de e^{y} é e^{y}; a derivada de -e^{-y} é -(-e^{-y})=e^{-y}. Logo
    f'(y)=e^{y}+e^{-y}.
    • Derivada de g: \dfrac{d}{dy}\operatorname{sen}(y)=\cos(y). Logo
    g'(y)=\cos(y).
  • Pela regra de L’Hospital,
\lim_{y\to 0}\frac{e^{y}-e^{-y}}{\operatorname{sen}(y)} = \lim_{y\to 0}\frac{e^{y}+e^{-y}}{\cos(y)}.
Aqui as hipóteses de L’Hospital estão satisfeitas porque e^{y}, e^{-y} e \operatorname{sen}(y) são diferenciáveis em todo ponto, e o limite da razão das derivadas existe (vermos a seguir).

Passo 4

Avaliação do limite da razão das derivadas por substituição direta:
  • Quando y\to 0,
    • e^{y}+e^{-y}\to e^{0}+e^{0}=1+1=2,
    • \cos(y)\to\cos(0)=1.
  • Portanto
\lim_{y\to 0}\frac{e^{y}+e^{-y}}{\cos(y)}=\frac{2}{1}=2.
Logo o limite pedido vale 2.

Passo 5

Comentário adicional (checagem rápida): usando identidade hiperbólica, e^{y}-e^{-y}=2\operatorname{sinh}(y). Como \operatorname{sinh}(y)\sim y e \operatorname{sen}(y)\sim y quando y\to 0, a razão \dfrac{2\operatorname{sinh}(y)}{\operatorname{sen}(y)} tende a 2, confirmando o resultado anterior.

Resposta

2

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