Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-6}

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-x-6}. Vou listar claramente o que é pedido e o que já temos:
  • Determinar o domínio de f.
  • Encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
  • Determinar pontos de inflexão, e estudar as regiões de crescimento/decrescimento e a concavidade.
  • Verificar assíntotas verticais e horizontais.
  • Traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto-valor) de f.
Informação dada: a função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-x-6}. Não há outras informações externas.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais (raízes do denominador).
  • O denominador é x^{2}-x-6. Vamos fatorá-lo:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
  • O denominador é zero quando x=3 ou x=-2. Portanto esses valores são excluídos do domínio.
  • Domínio:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-2,3\}.
  • Como o denominador zera em x=-2 e x=3 e a função vai a infinito nessas proximidades, temos assíntotas verticais nas retas
x=-2\quad\text{e}\quad x=3.

Passo 3

Comportamento nas infintas e assíntota horizontal.
  • Para x\to\pm\infty, o termo dominante do denominador é x^{2}, logo f(x)\approx 1/x^{2}\to 0^{+}. Assim há uma assíntota horizontal:
y=0.
  • Limites próximos às assíntotas verticais (úteis para entender o gráfico):
    • x\to -2^{-}: x+2<0 pequeno, x-3<0, produto (x-3)(x+2)>0 pequeno \Rightarrow f\to +\infty.
    • x\to -2^{+}: x+2>0 pequeno, x-3<0, produto <0 pequeno \Rightarrow f\to -\infty.
    • x\to 3^{-}: x-3<0 pequeno, x+2>0, produto <0 pequeno \Rightarrow f\to -\infty.
    • x\to 3^{+}: x-3>0 pequeno, x+2>0, produto >0 pequeno \Rightarrow f\to +\infty.

Passo 4

Cálculo da derivada primeira e pontos críticos (para monotonia e extremos).
  • Use derivada de f(x)=g(x)^{-1} com g(x)=x^{2}-x-6. Então
f'(x)=-\frac{g'(x)}{g(x)^{2}}=-\frac{2x-1}{(x^{2}-x-6)^{2}}.
  • Zeros de f': numerador 2x-1=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}. Esse ponto pertence ao domínio (já que \tfrac{1}{2}\neq -2,3).
  • f'(x) é indefinida apenas onde o denominador é zero, isto é x=-2,3, pontos já excluídos do domínio.
  • Sinal de f':
    • O denominador (x^{2}-x-6)^{2} é sempre positivo em todo o domínio. Assim o sinal de f' vem apenas de -(2x-1).
    • Se x<\tfrac{1}{2} temos 2x-1<0\Rightarrow -(2x-1)>0\Rightarrow f'(x)>0.
    • Se x>\tfrac{1}{2} temos 2x-1>0\Rightarrow f'(x)<0.
  • Portanto a função é crescente enquanto x<\tfrac{1}{2} (em cada intervalo do domínio) e decrescente enquanto x>\tfrac{1}{2}.
Como o domínio é formado por três intervalos (-\infty,-2), (-2,3) e (3,\infty), aplicando o critério acima:
  • Em (-\infty,-2): todo x<\tfrac{1}{2} f'\!>\!0 ⇒ crescente.
  • Em (-2,3): divide-se em (-2,\tfrac{1}{2}) e (\tfrac{1}{2},3):
    • Em (-2,\tfrac{1}{2}): crescente.
    • Em (\tfrac{1}{2},3): decrescente.
  • Em (3,\infty): aqui x>\tfrac{1}{2} ⇒ decrescente.
  • Valor no ponto crítico x=\tfrac{1}{2}:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}-6} =\frac{1}{\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}-6} =\frac{1}{-\tfrac{25}{4}}=-\frac{4}{25}.
  • Como a função cresce antes de x=\tfrac{1}{2} e decresce depois, x=\tfrac{1}{2} é um ponto de máximo relativo. O máximo relativo é f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{4}{25}.

Passo 5

Classificação de máximo/minimo absolutos e comportamento global.
  • Pela análise de limites perto das assíntotas, f atinge valores arbitrariamente grandes positivos (por exemplo f\to+\infty quando x\to -2^{-} ou x\to 3^{+}). Logo não existe máximo absoluto finito.
  • Também f\to -\infty quando x\to -2^{+} ou x\to 3^{-}, então não existe mínimo absoluto finito. Portanto:
    • Há um máximo relativo em x=\tfrac{1}{2} com valor -\dfrac{4}{25}.
    • Não há mínimo relativo em nenhum ponto interior do domínio (nenhum ponto com mudança de decrescente→crescente).
    • Não existem máximos ou mínimos absolutos finitos.

Passo 6

Cálculo da derivada segunda (concavidade e inflexões).
  • Diferenciando f'(x)=-(2x-1)(x^{2}-x-6)^{-2} obtemos
f''(x)=\frac{2\bigl(3x^{2}-3x+7\bigr)}{(x^{2}-x-6)^{3}}.
  • Observações sobre f'':
    • O numerador 3x^{2}-3x+7 tem discriminante \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 3\cdot 7=9-84=-75<0, logo é sempre positivo. Assim o sinal de f'' depende apenas do denominador (x^{2}-x-6)^{3}.
    • Portanto f''(x)>0 quando x^{2}-x-6>0 e f''(x)<0 quando x^{2}-x-6<0.
  • Lembrando a fatoração x^{2}-x-6=(x-3)(x+2), temos:
    • x^{2}-x-6>0 para x<-2 ou x>3.
    • x^{2}-x-6<0 para -2<x<3.
  • Conclusões sobre concavidade:
    • f é côncava para cima em (-\infty,-2) e em (3,\infty).
    • f é côncava para baixo em (-2,3).
  • Inflection points:
    • Para haver ponto de inflexão interior é necessário f''(x)=0 ou indefinida e que haja mudança de concavidade em um ponto do domínio.
    • Aqui f''(x)=0 nunca ocorre (numerador nunca zero) e os únicos pontos onde f'' é indefinida são x=-2,3, que não pertencem ao domínio. Portanto não há pontos de inflexão na \text{Dom}(f).

Passo 7

Determinar a imagem (conjunto-valor) de f.
Estudo por intervalos de domínio:
  • Em (-\infty,-2):
    • f é contínua e crescente.
    • \lim_{x\to -\infty} f(x)=0^{+} e \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=+\infty.
    • Logo o conjunto de valores nesse ramo é (0,\infty).
  • Em (3,\infty):
    • f é contínua e decrescente.
    • \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=+\infty e \lim_{x\to \infty} f(x)=0^{+}.
    • Logo o conjunto de valores nesse ramo também é (0,\infty).
  • Em (-2,3):
    • f é contínua, tende a -\infty ao aproximar-se de ambos os extremos do intervalo, e tem um máximo relativo em x=\tfrac{1}{2} com valor -\dfrac{4}{25}.
    • Portanto os valores assumidos nesse intervalo são (-\infty,-\tfrac{4}{25}].
  • Unindo os ramos, a imagem (conjunto-valor) de f é
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,-\tfrac{4}{25}]\\ \cup\\ (0,\infty).
Observações: o intervalo -\tfrac{4}{25}<y\le 0 não é atingido por f; y=0 também não é atingido (apenas assíntota horizontal).

Passo 8

Descrição esquemática do gráfico (como “traçar” mentalmente):
  • Há duas assíntotas verticais: x=-2 e x=3; uma assíntota horizontal y=0.
  • Ramo em (-\infty,-2): f cresce de 0^{+} (quando x\to -\infty) até +\infty (quando x\to -2^{-}); é côncavo para cima.
  • Ramo em (-2,3): f vem de -\infty em x\to -2^{+}, cresce até o pico f(\tfrac{1}{2})=-\tfrac{4}{25} em x=\tfrac{1}{2} (máximo relativo), depois decresce e volta para -\infty em x\to 3^{-}; é côncavo para baixo.
  • Ramo em (3,\infty): f sai de +\infty em x\to 3^{+} e decresce para 0^{+} quando x\to\infty; é côncavo para cima.
  • Não há pontos de inflexão dentro do domínio; o único extremo interior é o máximo relativo em x=\tfrac{1}{2} com valor -\tfrac{4}{25}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-2,3\}
Pontos de máximo e mínimo:
  • Máximo relativo: x=\tfrac{1}{2} com f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{4}{25}.
  • Não há mínimo relativo.
  • Não existem máximos ou mínimos absolutos finitos.
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão em \text{Dom}(f).
Crescimento/Decrescimento:
  • Crescente em (-\infty,-2) e em (-2,\tfrac{1}{2}).
  • Decrescente em (\tfrac{1}{2},3) e em (3,\infty).
Concavidade:
  • Côncava para cima em (-\infty,-2) e em (3,\infty).
  • Côncava para baixo em (-2,3).
Assíntotas:
  • Verticais: x=-2 e x=3.
  • Horizontal: y=0.
Imagem (conjunto-valor): (-\infty,-\tfrac{4}{25}]\\ \cup\\ (0,\infty)

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