Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função
. Vou listar claramente o que é pedido e o que já temos:
- Determinar o domínio de
. - Encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
- Determinar pontos de inflexão, e estudar as regiões de crescimento/decrescimento e a concavidade.
- Verificar assíntotas verticais e horizontais.
- Traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto-valor) de
.
Informação dada: a função é
. Não há outras informações externas.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas verticais (raízes do denominador).
- O denominador é
. Vamos fatorá-lo:
- O denominador é zero quando
ou . Portanto esses valores são excluídos do domínio. - Domínio:
- Como o denominador zera em
e e a função vai a infinito nessas proximidades, temos assíntotas verticais nas retas
Passo 3
Comportamento nas infintas e assíntota horizontal.
- Para
, o termo dominante do denominador é , logo . Assim há uma assíntota horizontal:
- Limites próximos às assíntotas verticais (úteis para entender o gráfico):
-
: pequeno, , produto pequeno . -
: pequeno, , produto pequeno . -
: pequeno, , produto pequeno . -
: pequeno, , produto pequeno .
-
Passo 4
Cálculo da derivada primeira e pontos críticos (para monotonia e extremos).
- Use derivada de
com . Então
- Zeros de
: numerador . Esse ponto pertence ao domínio (já que ). -
é indefinida apenas onde o denominador é zero, isto é , pontos já excluídos do domínio. - Sinal de
: - O denominador
é sempre positivo em todo o domínio. Assim o sinal de vem apenas de . - Se
temos . - Se
temos .
- O denominador
- Portanto a função é crescente enquanto
(em cada intervalo do domínio) e decrescente enquanto .
Como o domínio é formado por três intervalos
,
e
, aplicando o critério acima:
-
Em
: todo ⇒ ⇒ crescente. -
Em
: divide-se em e : - Em
: crescente. - Em
: decrescente.
- Em
-
Em
: aqui ⇒ decrescente. -
Valor no ponto crítico
:
- Como a função cresce antes de
e decresce depois, é um ponto de máximo relativo. O máximo relativo é .
Passo 5
Classificação de máximo/minimo absolutos e comportamento global.
- Pela análise de limites perto das assíntotas,
atinge valores arbitrariamente grandes positivos (por exemplo quando ou ). Logo não existe máximo absoluto finito. - Também
quando ou , então não existe mínimo absoluto finito. Portanto: - Há um máximo relativo em
com valor . - Não há mínimo relativo em nenhum ponto interior do domínio (nenhum ponto com mudança de decrescente→crescente).
- Não existem máximos ou mínimos absolutos finitos.
- Há um máximo relativo em
Passo 6
Cálculo da derivada segunda (concavidade e inflexões).
- Diferenciando
obtemos
- Observações sobre
: - O numerador
tem discriminante , logo é sempre positivo. Assim o sinal de depende apenas do denominador . - Portanto
quando e quando .
- O numerador
- Lembrando a fatoração
, temos: -
para ou . -
para .
-
- Conclusões sobre concavidade:
-
é côncava para cima em e em . -
é côncava para baixo em .
-
- Inflection points:
- Para haver ponto de inflexão interior é necessário
ou indefinida e que haja mudança de concavidade em um ponto do domínio. - Aqui
nunca ocorre (numerador nunca zero) e os únicos pontos onde é indefinida são , que não pertencem ao domínio. Portanto não há pontos de inflexão na .
- Para haver ponto de inflexão interior é necessário
Passo 7
Determinar a imagem (conjunto-valor) de
.
Estudo por intervalos de domínio:
Estudo por intervalos de domínio:
- Em
: -
é contínua e crescente. -
e . - Logo o conjunto de valores nesse ramo é
.
-
- Em
: -
é contínua e decrescente. -
e . - Logo o conjunto de valores nesse ramo também é
.
-
- Em
: -
é contínua, tende a ao aproximar-se de ambos os extremos do intervalo, e tem um máximo relativo em com valor . - Portanto os valores assumidos nesse intervalo são
.
-
- Unindo os ramos, a imagem (conjunto-valor) de
é
Observações: o intervalo
não é atingido por
;
também não é atingido (apenas assíntota horizontal).
Passo 8
Descrição esquemática do gráfico (como “traçar” mentalmente):
- Há duas assíntotas verticais:
e ; uma assíntota horizontal . - Ramo em
: cresce de (quando ) até (quando ); é côncavo para cima. - Ramo em
: vem de em , cresce até o pico em (máximo relativo), depois decresce e volta para em ; é côncavo para baixo. - Ramo em
: sai de em e decresce para quando ; é côncavo para cima. - Não há pontos de inflexão dentro do domínio; o único extremo interior é o máximo relativo em
com valor .
Resposta
Domínio:
Pontos de máximo e mínimo:
- Máximo relativo:
com . - Não há mínimo relativo.
- Não existem máximos ou mínimos absolutos finitos.
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão em
.
Crescimento/Decrescimento:
- Crescente em
e em . - Decrescente em
e em .
Concavidade:
- Côncava para cima em
e em . - Côncava para baixo em
.
Assíntotas:
- Verticais:
e . - Horizontal:
.
Imagem (conjunto-valor):