Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de
e
de modo que
seja derivável.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes:
A questão pede para encontrar os valores de
e
de modo que a função
seja derivável. Para que isso aconteça, a função precisa ser contínua em
e ter derivadas iguais dos dois lados nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivação de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Então, vamos calcular
usando a segunda parte da função, já que para
:
Agora, calculamos o limite da esquerda (
) usando a primeira parte da função:
Para garantir a continuidade:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada de
exista em
. Isso significa que a derivada à esquerda de 1 deve ser igual à derivada à direita de 1.
Vamos calcular a derivada de cada parte da função:
Para
:
Para
:
Agora, calculamos a derivada na aproximação de 1:
Derivada à esquerda (
):
Derivada à direita (
):
Para que a função seja derivável em
:
Essa é a nossa segunda equação.
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações para encontrar
e
:
Já sabemos que
. Substituindo esse valor na primeira equação:
Resolvendo para
:
Resposta
Os valores que tornam
derivável são
e
.