Nos exercícios 18 a 21, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
x = raiz(2 y) / (y^2 + 1), x = 2/5, y = 1 e y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido de revolução, que é gerado ao girar uma região em torno do eixo dos . A região é delimitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região . Temos duas curvas verticais: e , além das linhas horizontais e . Vamos identificar qual dessas curvas está mais à direita (maior valor de ) e qual está mais à esquerda para facilitar nossos cálculos.

Passo 3

Vamos comparar as duas funções de para diferentes valores de entre 1 e 2. Ao analisar, percebemos que para nesse intervalo, é menor que . Ou seja, está à direita e está à esquerda.

Passo 4

Com isso, podemos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume quando se gira em torno do eixo dos é:
Aqui, é a distância da curva mais à direita até o eixo de rotação (neste caso, ) e é a distância da curva mais à esquerda até o eixo de rotação ( ).

Passo 5

Vamos então substituir esses valores na fórmula:
Agora, vamos simplificar as expressões dentro da integral.

Passo 6

Calculando os quadrados:
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Começando pela primeira integral:

Passo 8

Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja , então . Isso simplifica a integral para:
Agora, avaliamos de 1 a 2:

Passo 9

Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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