Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de e que fazem com que a função seja contínua em todos os pontos.
Passo 1
A função é dada por
f(x) = 2x^3 + x - m, & x <= 0, k(x+1) + 2, & 0 < x <= 4, x^2 + m, & x > 4
Queremos que f seja contínua em todos os pontos. Como cada ramo é polinomial ou linear, a continuidade só precisa ser verificada nas fronteiras x = 0 e x = 4.
Passo 2
Para continuidade em x = 0 precisamos ter
limx to 0^- f(x) = f(0) = limx to 0^+ f(x)
Do lado esquerdo (ramo x <= 0) temos
limx to 0^- f(x) = 2cdot0^3 + 0 - m = -m,
e do lado direito (ramo 0 < x <= 4)
limx to 0^+ f(x) = k(0+1) + 2 = k + 2
Como f(0) é dado pelo ramo esquerdo, a igualdade -m = k+2 deve valer.
Passo 3
Para continuidade em x = 4 precisamos de
limx to 4^- f(x) = f(4) = limx to 4^+ f(x)
No ramo 0 < x <= 4 (à esquerda de 4) temos
limx to 4^- f(x) = k(4+1) + 2 = 5k + 2,
e no ramo x > 4 (à direita de 4)
limx to 4^+ f(x) = 4^2 + m = 16 + m
Igualando, obtemos 5k + 2 = 16 + m.
Passo 4
Agora resolvemos o sistema de duas equações:
-m = k + 2, 5k + 2 = 16 + m
Da primeira equação vem m = -k - 2. Substituindo na segunda: