Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ = \frac{y}{1 + x^{2}} $. O conteúdo aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. A equação dada é:
Podemos reorganizar essa expressão para:
Aqui, separamos os termos que envolvem $ y $ de um lado e os que envolvem $ x $ do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo ($ \frac{1}{y} dy $) é:
E a integral do lado direito ($ \frac{1}{1 + x^{2}} dx $) é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 4
Vamos simplificar juntando as constantes de integração. Subtraindo $ C_1 $ de ambos os lados, temos:
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma nova constante.
Passo 5
Para encontrar $ y $, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Como $ e^{C} $ é apenas uma constante positiva, podemos representá-la como uma nova constante $ C’ $. Além disso, como $ y $ pode ser positivo ou negativo, podemos escrever:
Onde $ C $ é uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ y = C \cdot e{\operatorname{tg}{-1}(x)} $.
Portanto, a opção correta é:
$ y = C \cdot e{\operatorname{tg}{-1}(x)} $