Em que frequências um capacitor de 33 \mu \mathrm{~F} possuirá reatâncias de 20 \Omega e de 10 \mathrm{k} \Omega ?

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, bem claro.
  • Dado: capacitância C=33\\ \mu\mathrm{F}=33\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Dado: queremos as frequências correspondentes a duas reatâncias capacitiva diferentes:
    • X_{C1}=20\\ \Omega.
    • X_{C2}=10\\ \mathrm{k}\Omega=10000\\ \Omega.
  • Pedido: achar as frequências f tais que a reatância do capacitor vale cada um desses valores.

Passo 2

Entender a fórmula que relaciona reatância capacitiva e frequência. Para um capacitor a impedância é \displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C}, onde:
  • j é a unidade imaginária (não precisamos do sinal imaginário aqui, só da magnitude),
  • \omega é a pulsação angular, \omega=2\pi f,
  • C é a capacitância.
    A magnitude da reatância capacitiva é
X_C=\left|Z_C\right|=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f C}.
Explicando em palavras: quanto maior a frequência f ou a capacitância C, menor será a reatância X_C.

Passo 3

Isolar a frequência f na fórmula. A partir de
X_C=\frac{1}{2\pi f C},
passa-se para
f=\frac{1}{2\pi C X_C}.
Aqui f tem unidade de hertz quando C está em farad e X_C em ohms.

Passo 4

Calcular a frequência para X_{C1}=20\\ \Omega. Primeiro converto C para farad (já fiz no Passo 1) e substituo:
f_1=\frac{1}{2\pi\cdot(33\times10^{-6})\cdot 20}.
Faço as contas passo a passo:
33\times10^{-6}\cdot 20=660\times10^{-6}=6{,}6\times10^{-4}.
2\pi\cdot6{,}6\times10^{-4}\approx 6{,}283185\cdot6{,}6\times10^{-4}\approx 0{,}0041469.
f_1=\frac{1}{0{,}0041469}\approx 241{,}0\\ \mathrm{Hz}.
Arredondei para três algarismos significativos: 241{,}0\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular a frequência para X_{C2}=10\\ \mathrm{k}\Omega=10000\\ \Omega. Substituo na mesma fórmula:
f_2=\frac{1}{2\pi\cdot(33\times10^{-6})\cdot 10000}.
Passos intermediários:
33\times10^{-6}\cdot 10000=0{,}33.
2\pi\cdot 0{,}33\approx 6{,}283185\cdot0{,}33\approx 2{,}073451.
f_2=\frac{1}{2{,}073451}\approx 0{,}4822\\ \mathrm{Hz}.
Arredondei para três algarismos significativos: 0{,}482\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: note que para reatância grande ( 10\\ \mathrm{k}\Omega) a frequência é muito baixa ( \sim0{,}48\\ \mathrm{Hz}), e para reatância pequena ( 20\\ \Omega) a frequência é bem maior ( \sim241\\ \mathrm{Hz}). Isso faz sentido físico: capacitor apresenta alta impedância a baixas frequências (comporta-se quase como circuito aberto em DC) e baixa impedância a altas frequências (quase curto). Vai dar certo na prova — você já tem a receita: usar f=1/(2\pi C X_C) e fazer as contas com calma.

Resposta

f\approx241{,}0\\ \mathrm{Hz} para X_C=20\\ \Omega
f\approx0{,}482\\ \mathrm{Hz} para X_C=10\\ \mathrm{k}\Omega

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