Um circuito série é formado por uma bobina de
de indutância, um capacitor de
e uma resistência de valor desconhecido. Ao conjunto é aplicada uma tensão de
, sendo o circuito percorrido por uma corrente de
. Determine:
a) A impedância do circuito.
b) A reatância do circuito.
c) O valor da resistência desconhecida.
d) O valor das tensões no capacitor e na bobina.
a) A impedância do circuito.
b) A reatância do circuito.
c) O valor da resistência desconhecida.
d) O valor das tensões no capacitor e na bobina.
Passo 1
O enunciado dá um circuito série com três elementos: uma bobina (indutor), um capacitor e uma resistência desconhecida, alimentado por uma fonte senoidal. Os dados numéricos fornecidos são:
- Indutância da bobina:
. - Capacitância do capacitor:
. - Tensão eficaz da fonte:
. - Frequência da fonte:
. - Corrente eficaz que percorre o circuito (série):
.
O enunciado pede que se determine:
a) a impedância do circuito;
b) a reatância do circuito (reatância resultante série, ou seja );
c) o valor da resistência desconhecida ;
d) as tensões nos terminais do capacitor e da bobina (valores eficazes).
a) a impedância do circuito;
b) a reatância do circuito (reatância resultante série, ou seja
c) o valor da resistência desconhecida
d) as tensões nos terminais do capacitor e da bobina (valores eficazes).
Passo 2
Primeiro conceito e cálculo simples: a impedância total em módulo de um circuito série é a razão entre a tensão eficaz aplicada e a corrente eficaz que percorre o circuito. Fórmula e significado das variáveis:
onde
é a impedância em ohms (
),
é a tensão eficaz em volts (V) e
é a corrente eficaz em ampères (A).
Substituindo os valores dados:
Explicação rápida: isso significa que, para a corrente de
, a combinação total de resistência + reatância fornece uma oposição equivalente de
.
Passo 3
Agora vamos calcular as reatâncias do indutor e do capacitor (mini-aula sobre reatância):
- Reatância indutiva:
. Aqui (em ) mede a oposição do indutor à variação de corrente; aumenta com e com . - Reatância capacitiva:
. Aqui (em ) mede a oposição do capacitor; diminui quando ou aumentam.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Agora a reatância resultante do circuito série é a diferença (porque indutiva e capacitiva têm defasagem oposta):
Interpretação:
indica comportamento resultante ligeiramente indutivo (a corrente está em defasagem de fase negativa em relação à tensão).
Passo 4
Agora achamos a resistência
. Em um circuito série com componente resistiva
e reatância resultante
, a impedância complexa tem módulo:
Isolando
:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculemos passo a passo:
logo
Breve comentário didático: geometricamente, a relação
vem do triângulo retângulo formado pelas componentes real (resistiva) e imaginária (reatância) da impedância complexa.
Passo 5
Cálculo das tensões nos componentes (mini-aula sobre quedas em série): em série a corrente é a mesma em todos os elementos; a queda de tensão eficaz num elemento que tem resistência ou reatância é dada por
. Para a bobina (reatância indutiva) e para o capacitor (reatância capacitiva) usamos:
Substituindo:
Explicação física curta: embora a fonte seja apenas
, as tensões individuais em L e C podem ser maiores porque elas estão defasadas entre si e somam vetorialmente (phasors); a soma vetorial de
,
e
resulta em
.
Passo 6
Verificação de consistência (cheirinho de prova): tensão sobre a resistência:
A soma vetorial (phasor) entre
(eixo real) e a diferença reativa
(eixo imaginário) deve dar
:
o que coincide com a tensão da fonte, conferindo que os cálculos estão consistentes.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)