Um circuito série é formado por uma bobina de 1,2 \mathrm{H} de indutância, um capacitor de 10 \mu \mathrm{~F} / 100 \mathrm{~V} e uma resistência de valor desconhecido. Ao conjunto é aplicada uma tensão de 13,35 \mathrm{~V}, 50 \mathrm{~Hz}, sendo o circuito percorrido por uma corrente de 0,15 \mathrm{~A}. Determine:
a) A impedância do circuito.
b) A reatância do circuito.
c) O valor da resistência desconhecida.
d) O valor das tensões no capacitor e na bobina.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com três elementos: uma bobina (indutor), um capacitor e uma resistência desconhecida, alimentado por uma fonte senoidal. Os dados numéricos fornecidos são:
  • Indutância da bobina: L = 1,2\\ \mathrm{H}.
  • Capacitância do capacitor: C = 10\\ \mu\mathrm{F} = 10\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Tensão eficaz da fonte: V = 13,35\\ \mathrm{V}.
  • Frequência da fonte: f = 50\\ \mathrm{Hz}.
  • Corrente eficaz que percorre o circuito (série): I = 0,15\\ \mathrm{A}.
O enunciado pede que se determine:
a) a impedância do circuito;
b) a reatância do circuito (reatância resultante série, ou seja X = X_L - X_C);
c) o valor da resistência desconhecida R;
d) as tensões nos terminais do capacitor e da bobina (valores eficazes).

Passo 2

Primeiro conceito e cálculo simples: a impedância total em módulo de um circuito série é a razão entre a tensão eficaz aplicada e a corrente eficaz que percorre o circuito. Fórmula e significado das variáveis:
Z=\frac{V}{I},
onde Z é a impedância em ohms ( \Omega), V é a tensão eficaz em volts (V) e I é a corrente eficaz em ampères (A).
Substituindo os valores dados:
Z=\frac{13{,}35}{0{,}15}=89\\ \Omega.
Explicação rápida: isso significa que, para a corrente de 0{,}15\\ \mathrm{A}, a combinação total de resistência + reatância fornece uma oposição equivalente de 89\\ \Omega.

Passo 3

Agora vamos calcular as reatâncias do indutor e do capacitor (mini-aula sobre reatância):
  • Reatância indutiva: \;X_L = 2\pi f L. Aqui X_L (em \Omega) mede a oposição do indutor à variação de corrente; aumenta com f e com L.
  • Reatância capacitiva: \;X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}. Aqui X_C (em \Omega) mede a oposição do capacitor; diminui quando f ou C aumentam.
Cálculo de X_L:
X_L = 2\pi f L = 2\pi\cdot 50\cdot 1{,}2 = 120\pi \approx 376{,}99\\ \Omega.
Cálculo de X_C:
X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi\cdot 50\cdot 10\times10^{-6}} = \frac{1000}{\pi} \approx 318{,}31\\ \Omega.
Agora a reatância resultante do circuito série é a diferença (porque indutiva e capacitiva têm defasagem oposta):
X = X_L - X_C \approx 376{,}99 - 318{,}31 = 58{,}68\\ \Omega.
Interpretação: X>0 indica comportamento resultante ligeiramente indutivo (a corrente está em defasagem de fase negativa em relação à tensão).

Passo 4

Agora achamos a resistência R. Em um circuito série com componente resistiva R e reatância resultante X, a impedância complexa tem módulo:
Z=\sqrt{R^{2}+X^{2}}.
Isolando R:
R=\sqrt{Z^{2}-X^{2}}.
Substituindo os valores conhecidos:
R=\sqrt{89^{2}-58{,}68^{2}}.
Calculemos passo a passo:
89^{2}=7921, \qquad 58{,}68^{2}\approx 3443{,}5\\ (\text{aprox.}),
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R\approx\sqrt{7921-3443{,}5}=\sqrt{4477{,}5}\approx 66{,}9\\ \Omega.
Breve comentário didático: geometricamente, a relação \,Z^{2}=R^{2}+X^{2}\, vem do triângulo retângulo formado pelas componentes real (resistiva) e imaginária (reatância) da impedância complexa.

Passo 5

Cálculo das tensões nos componentes (mini-aula sobre quedas em série): em série a corrente é a mesma em todos os elementos; a queda de tensão eficaz num elemento que tem resistência ou reatância é dada por V = I\cdot Z_{\text{elemento}}. Para a bobina (reatância indutiva) e para o capacitor (reatância capacitiva) usamos:
V_L = I\cdot X_L,\qquad V_C = I\cdot X_C.
Substituindo:
V_L = 0{,}15\cdot 376{,}99 \approx 56{,}55\\ \mathrm{V},
V_C = 0{,}15\cdot 318{,}31 \approx 47{,}75\\ \mathrm{V}.
Explicação física curta: embora a fonte seja apenas 13{,}35\\ \mathrm{V}, as tensões individuais em L e C podem ser maiores porque elas estão defasadas entre si e somam vetorialmente (phasors); a soma vetorial de V_L, V_C e V_R resulta em V.

Passo 6

Verificação de consistência (cheirinho de prova): tensão sobre a resistência:
V_R=I\cdot R \approx 0{,}15\cdot 66{,}9 \approx 10{,}03\\ \mathrm{V}.
A soma vetorial (phasor) entre V_R (eixo real) e a diferença reativa V_L-V_C (eixo imaginário) deve dar V:
V_{\text{total}}=\sqrt{V_R^{2}+(V_L-V_C)^{2}}
V_L-V_C\approx 56{,}55-47{,}75=8{,}80\\ \mathrm{V},
\sqrt{10{,}03^{2}+8{,}80^{2}}\approx\sqrt{100{,}6+77{,}4}}=\sqrt{178{,}0}\approx 13{,}35\\ \mathrm{V},
o que coincide com a tensão da fonte, conferindo que os cálculos estão consistentes.

Resposta

a) Z = 89\\ \Omega
b) X = X_{L}-X_{C} \approx 58{,}68\\ \Omega
c) R \approx 66{,}9\\ \Omega
d) V_{L} \approx 56{,}55\\ \mathrm{V}
V_{C} \approx 47{,}75\\ \mathrm{V}

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