Para cada uma das funções abaixo, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximo e mínimos locais. Além disso, nos itens a), b) e c), determine também os intervalos em que elas são côncavas para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
f(x)=\ln \left(x^{4}+27\right)

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=\ln\bigl(x^{4}+27\bigr),
os intervalos de crescimento e de decrescimento, os extremos locais e, adicionalmente, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, bem como os pontos de inflexão.
Conteúdo: derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia e a derivada de \ln(u):
f'(x)=\frac{1}{x^{4}+27}\cdot 4x^{3}=\frac{4x^{3}}{x^{4}+27}.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x). O denominador x^{4}+27 é sempre positivo, logo o sinal vem de 4x^{3}:
  • Se x<0, 4x^{3}<0; \Rightarrow; f'(x)<0.
  • Se x>0, 4x^{3}>0; \Rightarrow; f'(x)>0.
  • Em x=0, f'(0)=0 é ponto crítico.
Portanto:
  • f decresce em (- \infty,0).
  • f cresce em (0,\infty).
Como a derivada muda de negativa para positiva em x=0, há um mínimo local em x=0, com
f(0)=\ln(0^{4}+27)=\ln(27).
Não há máximos locais.

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade. Aplicando quociente na derivada de f':
f''(x) =\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{4x^{3}}{x^{4}+27}\Bigr) =\frac{12x^{2}(x^{4}+27)-16x^{6}}{(x^{4}+27)^{2}} =\frac{4x^{2}(81 - x^{4})}{(x^{4}+27)^{2}}.

Passo 5

Para achar as trocas de concavidade resolvemos f''(x)=0:
4x^{2}(81 - x^{4})=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;\;x^{4}=81\;\Longrightarrow\;x=\pm3.
O denominador nunca zera. Logo o sinal de f'' é o de x^{2}(81 - x^{4}):
  • Para |x|<3, 81 - x^{4}>0 e x^{2}\ge0, logo f''(x)>0.
  • Para |x|>3, 81 - x^{4}<0, logo f''(x)<0.
Isso dá:
  • Concavidade para cima em (-3,3).
  • Concavidade para baixo em (-\infty,-3)\cup(3,\infty).
Troca de sinal de f'' ocorre em x=\pm3, gerando dois pontos de inflexão. Calculamos
f(\pm3)=\ln\bigl(3^{4}+27\bigr)=\ln(81+27)=\ln(108).

Resposta

Intervalos de monotonicidade e extremos:
f decresce em (-\infty,0); cresce em (0,\infty).
Mínimo local em \bigl(0,\ln(27)\bigr).
Concavidade e inflexão:
Côncava para cima em (-3,3); côncava para baixo em (-\infty,-3)\cup(3,\infty).
Pontos de inflexão em \bigl(-3,\ln(108)\bigr) e \bigl(3,\ln(108)\bigr).

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