Para cada uma das funções abaixo, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximo e mínimos locais. Além disso, nos itens a), b) e c), determine também os intervalos em que elas são côncavas para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
os intervalos de crescimento e de decrescimento, os extremos locais e, adicionalmente, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, bem como os pontos de inflexão.
Conteúdo: derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.
Conteúdo: derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia e a derivada de
:
Passo 3
Analisamos o sinal de
. O denominador
é sempre positivo, logo o sinal vem de
:
- Se
, ; ; . - Se
, ; ; . - Em
, é ponto crítico.
Portanto:
-
decresce em . -
cresce em .
Como a derivada muda de negativa para positiva em
, há um mínimo local em
, com
Não há máximos locais.
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade. Aplicando quociente na derivada de
:
Passo 5
Para achar as trocas de concavidade resolvemos
:
O denominador nunca zera. Logo o sinal de
é o de
:
- Para
, e , logo . - Para
, , logo .
Isso dá:
- Concavidade para cima em
. - Concavidade para baixo em
.
Troca de sinal de
ocorre em
, gerando dois pontos de inflexão. Calculamos
Resposta
Intervalos de monotonicidade e extremos:
f decresce em ; cresce em
.
Mínimo local em .
f decresce em
Mínimo local em
Concavidade e inflexão:
Côncava para cima em ; côncava para baixo em
.
Pontos de inflexão em e
.
Côncava para cima em
Pontos de inflexão em