Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x^{3}-3 x^{2}-45 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^{3}-3x^{2}-45x.
Como é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, sabemos que
\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty e
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Para traçar o esboço, vamos encontrar interceptos com os eixos, extremos locais, inflexão e estudar monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Interceptos com o eixo x vêm de
x^{3}-3x^{2}-45x = x\,(x^{2}-3x-45)=0.
Assim x=0 ou
x^{2}-3x-45=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3\pm\sqrt{9+180}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{189}}{2} \approx -5{,}375\text{ e }8{,}375.
O intercepto com o eixo y é f(0)=0, já contabilizado.

Passo 3

Derivada primeira para extremos locais:
f'(x)=3x^{2}-6x-45=3\bigl(x^{2}-2x-15\bigr)=3(x+3)(x-5).
Logo os pontos críticos são x=-3 e x=5.
Calculando os valores:
f(-3)=(-27)-27+135=81, \qquad f(5)=125-75-225=-175.
Temos um máximo local em (-3,81) e um mínimo local em (5,-175).

Passo 4

Sinal de f'(x):
  • Para x < -3, escolhemos x = -4: f'(-4) = 3 \cdot (-4 + 3)(-4 - 5) > 0, logo cresce.
  • Entre -3 e 5, escolhemos x = 0: f'(0) = -45 < 0, logo decresce.
  • Para x > 5, escolhemos x = 6: f'(6) = 3 \cdot 9 \cdot 1 > 0, logo cresce.

Passo 5

Derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=6x-6,
que se anula em x=1. Então há inflexão em
\bigl(1,f(1)\bigr) com
f(1)=1-3-45=-47.
Para x<1, f''(x)<0 (concavo para baixo) e para x>1, f''(x)>0 (côncavo para cima).

Passo 6

Agora juntamos tudo para esboçar:
  • Começa em -\infty quando x\to-\infty.
  • Sobe, cruza o eixo x em \approx(-5{,}375,0) e atinge o máximo local em (-3,81).
  • Desce, cruza x=0 em (0,0), passa pelo ponto de inflexão (1,-47), continua descendo até o mínimo local em (5,-175).
  • A seguir sobe de novo, cruza o eixo x em \approx(8{,}375,0) e vai a +\infty.
No esboço, marque esses pontos-chave e ligue-os com uma curva suave que seja côncava para baixo antes de x=1 e côncava para cima depois de x=1.

Resposta

Esboce o gráfico passando pelos pontos e comportamentos descritos em cada etapa acima.

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