Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Como é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo, sabemos que
e
.
Para traçar o esboço, vamos encontrar interceptos com os eixos, extremos locais, inflexão e estudar monotonicidade e concavidade.
Para traçar o esboço, vamos encontrar interceptos com os eixos, extremos locais, inflexão e estudar monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Interceptos com o eixo
vêm de
Assim
ou
O intercepto com o eixo
é
, já contabilizado.
Passo 3
Derivada primeira para extremos locais:
Logo os pontos críticos são
e
.
Calculando os valores:
Calculando os valores:
Temos um máximo local em
e um mínimo local em
.
Passo 4
Sinal de
:
- Para
, escolhemos : , logo cresce. - Entre
e , escolhemos : , logo decresce. - Para
, escolhemos : , logo cresce.
Passo 5
Derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
que se anula em
. Então há inflexão em
com
Para
,
(concavo para baixo) e para
,
(côncavo para cima).
Passo 6
Agora juntamos tudo para esboçar:
- Começa em
quando . - Sobe, cruza o eixo
em e atinge o máximo local em . - Desce, cruza
em , passa pelo ponto de inflexão , continua descendo até o mínimo local em . - A seguir sobe de novo, cruza o eixo
em e vai a .
No esboço, marque esses pontos-chave e ligue-os com uma curva suave que seja côncava para baixo antes de
e côncava para cima depois de
.
Resposta
Esboce o gráfico passando pelos pontos e comportamentos descritos em cada etapa acima.