Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo aqui é análise de função polinomial: vamos estudar domínio, simetria, interceptos, derivadas para achar extremos e pontos de inflexão, depois usar essas informações para desenhar o esboço.
Passo 2
Domínio e simetria:
O polinômio está definido para todo . Como só aparecem potências pares,
é função par, isto é,
. Interceptos com os eixos:
Para -intercepto, em
, temos
O polinômio está definido para todo
Para
Para zeros de
, resolvemos
logo as raízes são
(multiplicidade
) e
.
Passo 3
Primeira derivada e extremos:
As soluções de
são
Estudamos o sinal de
para determinar onde
é crescente ou decrescente:
- Para
, e (cresce). - Entre
e , temos e (decresce). - Entre
e , e (cresce). - Para
, e (decresce).
Passo 4
Valores de
nos pontos críticos:
Como
(veremos abaixo),
é mínimo local (toque na curva em
). Em
,
muda de positivo para negativo, logo são máximos locais em
. Para
, o termo
domina e
.
Passo 5
Segunda derivada e pontos de inflexão:
Anulando
dá
Nesses pontos há mudança de concavidade (inflexão). O valor de
ali é
Passo 6
Resumo das regiões de crescimento/concavidade:
- Cresce em
e em ; decresce em e em . - Concavidade para cima em
; para baixo em e em .
Com esses pontos e sinais, basta ligar suavemente: mínimo em
, inflexões em
, máximos em
e zeros em
.
Resposta
O esboço é de um polinômio de grau
par, com “duas montanhas” simétricas:
- toca o eixo em
(mínimo local), - inflexão em
, - atinge máximos em
, - cruza o eixo em
,
e depois cai paranos extremos.