Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=8 x^{2}-x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = 8x^{2} - x^{4}.
O conteúdo aqui é análise de função polinomial: vamos estudar domínio, simetria, interceptos, derivadas para achar extremos e pontos de inflexão, depois usar essas informações para desenhar o esboço.

Passo 2

Domínio e simetria:
O polinômio está definido para todo x\in\mathbb{R}. Como só aparecem potências pares, f é função par, isto é, f(-x)=f(x). Interceptos com os eixos:
Para y-intercepto, em x=0, temos
f(0)=0.
Para zeros de f, resolvemos
8x^{2}-x^{4}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}(8 - x^{2})=0,
logo as raízes são x=0 (multiplicidade 2) e x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}.

Passo 3

Primeira derivada e extremos:
f'(x) = \frac{d}{dx}(8x^{2}-x^{4}) = 16x - 4x^{3} = 4x\,(4 - x^{2}).
As soluções de f'(x)=0 são
x = 0,\quad x = \pm 2.
Estudamos o sinal de f' para determinar onde f é crescente ou decrescente:
  • Para x< -2, 4 - x^{2}<0 e x<0 \Rightarrow f'(x)>0 (cresce).
  • Entre -2 e 0, temos 4 - x^{2}>0 e x<0 \Rightarrow f'(x)<0 (decresce).
  • Entre 0 e 2, 4 - x^{2}>0 e x>0 \Rightarrow f'(x)>0 (cresce).
  • Para x>2, 4 - x^{2}<0 e x>0 \Rightarrow f'(x)<0 (decresce).

Passo 4

Valores de f nos pontos críticos:
f(0)=0,\quad f(2)=8\cdot2^{2}-2^{4}=32-16=16,\quad f(-2)=16.
Como f''(0)>0 (veremos abaixo), x=0 é mínimo local (toque na curva em (0,0)). Em x=\pm2, f' muda de positivo para negativo, logo são máximos locais em (\pm2,16). Para \lvert x\rvert\to\infty, o termo -x^{4} domina e f(x)\to -\infty.

Passo 5

Segunda derivada e pontos de inflexão:
f''(x) = \frac{d}{dx}(16x - 4x^{3}) = 16 - 12x^{2}.
Anulando f''(x)=0
16 - 12x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
Nesses pontos há mudança de concavidade (inflexão). O valor de f ali é
f\biggl(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\biggr) =8\cdot\frac{4}{3}-\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}\biggr)^{4} =\frac{32}{3}-\frac{16}{9} =\frac{80}{9}\approx8{,}89.

Passo 6

Resumo das regiões de crescimento/concavidade:
  • Cresce em (-\infty,-2) e em (0,2); decresce em (-2,0) e em (2,\infty).
  • Concavidade para cima em \bigl(-\tfrac{2}{\sqrt3},\tfrac{2}{\sqrt3}\bigr); para baixo em (-\infty,-\tfrac{2}{\sqrt3}) e em (\tfrac{2}{\sqrt3},\infty).
Com esses pontos e sinais, basta ligar suavemente: mínimo em (0,0), inflexões em \bigl(\pm\tfrac{2}{\sqrt3},\tfrac{80}{9}\bigr), máximos em (\pm2,16) e zeros em (\pm2\sqrt2,0).

Resposta

O esboço é de um polinômio de grau 4 par, com “duas montanhas” simétricas:
  • toca o eixo em (0,0) (mínimo local),
  • inflexão em \bigl(\pm\tfrac{2}{\sqrt3},\tfrac{80}{9}\bigr),
  • atinge máximos em (\pm2,16),
  • cruza o eixo em \bigl(\pm2\sqrt2,0\bigr),
    e depois cai para -\infty nos extremos.

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