Para cada uma das funções abaixo, faça uma análise das possíveis singularidades, de forma a determina se é possível usar o teorema de Cauchy-Goursat para determinar que, sobre o círculo unitário,
, a integral
Passo 1
O enunciado dá a função
(isto é,
) e pede para analisar as possíveis singularidades de
de modo a decidir se podemos usar o Teorema de Cauchy–Goursat para concluir que, sobre o círculo unitário
dado por
,
Informações relevantes do enunciado:
- A curva
é o círculo unitário (supõe-se a orientação positiva, sentido anti-horário). - A função é
. - Precisamos verificar singularidades de
dentro do disco e checar as hipóteses do Teorema de Cauchy–Goursat (função analítica em uma vizinhança simplesmente conexa que contém e seu interior).
Passo 2
Primeiro, reescrevemos
de forma útil. Por definição,
Aqui
e
são funções inteiras (analíticas em todo
). Portanto,
será analítica em todos os pontos onde
. Assim, as singularidades de
ocorrem exatamente nos pontos onde
.
Passo 3
Vamos listar as raízes de
. Sabemos (fato padrão sobre a função seno complexa) que
Portanto as singularidades de
são os pontos
(todos isolados).
Passo 4
Agora determinamos quais dessas singularidades estão dentro do círculo unitário
. Como
, para todo inteiro
diferente de zero temos
. Só resta o caso
, que dá
. Conclusão:
- Dentro do disco
existe exatamente uma singularidade de , localizada em .
Passo 5
Precisamos classificar a singularidade em
. Para isso, usamos a expansão em série de
e
em torno de
:
Da série de
vemos que
tem zero de ordem
em
(ou seja, um zero simples), porque o termo linear
é o primeiro não nulo. Como
, o numerador não zera em
. Para uma função dada por quociente de duas séries analíticas, se o denominador tem zero simples e o numerador é não nulo, a função tem um polo simples. Logo:
- Em
, tem um polo simples (polo de ordem 1).
(Comentário didático: polo simples significa que na expansão de Laurent em torno de
há um termo
não nulo e todos os termos com potência negativa além desse são nulos.)
Passo 6
Agora avaliamos a aplicabilidade do Teorema de Cauchy–Goursat. Esse teorema diz, em forma simples: se
é analítica em uma região simplesmente conexa que contém a curva fechada
e seu interior, então
No nosso caso, o interior do círculo unitário contém a singularidade
onde
não é analítica (tem polo). Portanto a hipótese “analítica em uma vizinhança que contém
e seu interior” não é satisfeita. Conclusão:
- Não é possível aplicar diretamente o Teorema de Cauchy–Goursat para afirmar que
.
Passo 7
Mesmo não podendo aplicar Cauchy–Goursat diretamente, podemos calcular a integral usando o Teorema dos Resíduos (que é a ferramenta padrão quando há singularidades isoladas dentro do contorno). O Teorema dos Resíduos afirma que, para uma curva fechada simples e orientação positiva,
onde a soma é sobre as singularidades isoladas
de
dentro de
. No nosso caso há apenas uma singularidade dentro de
:
. Então
Passo 8
Vamos calcular a resíduo de
em
. Para um polo simples em
, a fórmula prática é
Calculamos esse limite passo a passo. Usando
,
Agora usamos o limite clássico
. Reescrevendo,
Ao tomar
obtemos
Portanto
(Observação didática: alternativamente, pode-se lembrar a expansão de Laurent
, de onde fica claro que o coeficiente de
é
.)
Passo 9
Substituindo a resíduo na fórmula dos resíduos, obtemos
Isso mostra explicitamente que a integral sobre o círculo unitário não é zero.
Resposta
Não — não se pode aplicar Cauchy–Goursat porque
tem um polo simples em
dentro do círculo
.
.