Para cada uma das funções abaixo, faça uma análise das possíveis singularidades, de forma a determina se é possível usar o teorema de Cauchy-Goursat para determinar que, sobre o círculo unitário, quad|z|=1, a integral
\int_{C} f(z) d z=0 .
f(z)=\operatorname{cotg}(z)

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=\operatorname{cotg}(z) (isto é, \cot z) e pede para analisar as possíveis singularidades de f de modo a decidir se podemos usar o Teorema de Cauchy–Goursat para concluir que, sobre o círculo unitário C dado por |z|=1,
\int_{C} f(z)\,dz = 0.
Informações relevantes do enunciado:
  • A curva C é o círculo unitário |z|=1 (supõe-se a orientação positiva, sentido anti-horário).
  • A função é f(z)=\cot z.
  • Precisamos verificar singularidades de f dentro do disco |z|<1 e checar as hipóteses do Teorema de Cauchy–Goursat (função analítica em uma vizinhança simplesmente conexa que contém C e seu interior).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos \cot z de forma útil. Por definição,
\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}.
Aqui \cos z e \sin z são funções inteiras (analíticas em todo \mathbb{C}). Portanto, \cot z será analítica em todos os pontos onde \sin z \neq 0. Assim, as singularidades de \cot z ocorrem exatamente nos pontos onde \sin z = 0.

Passo 3

Vamos listar as raízes de \sin z. Sabemos (fato padrão sobre a função seno complexa) que
\sin z = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto as singularidades de \cot z são os pontos z=k\pi (todos isolados).

Passo 4

Agora determinamos quais dessas singularidades estão dentro do círculo unitário |z|<1. Como \pi\approx 3{,}14>1, para todo inteiro k diferente de zero temos |k\pi|\ge \pi>1. Só resta o caso k=0, que dá z=0. Conclusão:
  • Dentro do disco |z|<1 existe exatamente uma singularidade de \cot z, localizada em z=0.

Passo 5

Precisamos classificar a singularidade em z=0. Para isso, usamos a expansão em série de \sin z e \cos z em torno de 0:
\sin z = z - \frac{z^{3}}{3!} + \cdots,\qquad \cos z = 1 - \frac{z^{2}}{2!} + \cdots.
Da série de \sin z vemos que \sin z tem zero de ordem 1 em z=0 (ou seja, um zero simples), porque o termo linear z é o primeiro não nulo. Como \cos 0 = 1 \neq 0, o numerador não zera em 0. Para uma função dada por quociente de duas séries analíticas, se o denominador tem zero simples e o numerador é não nulo, a função tem um polo simples. Logo:
  • Em z=0, \cot z tem um polo simples (polo de ordem 1).
(Comentário didático: polo simples significa que na expansão de Laurent em torno de 0 há um termo \dfrac{a_{-1}}{z} não nulo e todos os termos com potência negativa além desse são nulos.)

Passo 6

Agora avaliamos a aplicabilidade do Teorema de Cauchy–Goursat. Esse teorema diz, em forma simples: se f é analítica em uma região simplesmente conexa que contém a curva fechada C e seu interior, então
\int_{C} f(z)\,dz = 0.
No nosso caso, o interior do círculo unitário contém a singularidade z=0 onde \cot z não é analítica (tem polo). Portanto a hipótese “analítica em uma vizinhança que contém C e seu interior” não é satisfeita. Conclusão:
  • Não é possível aplicar diretamente o Teorema de Cauchy–Goursat para afirmar que \displaystyle\int_{C}\cot z\,dz=0.

Passo 7

Mesmo não podendo aplicar Cauchy–Goursat diretamente, podemos calcular a integral usando o Teorema dos Resíduos (que é a ferramenta padrão quando há singularidades isoladas dentro do contorno). O Teorema dos Resíduos afirma que, para uma curva fechada simples e orientação positiva,
\int_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f; a_j),
onde a soma é sobre as singularidades isoladas a_j de f dentro de C. No nosso caso há apenas uma singularidade dentro de C: z=0. Então
\int_{C} \cot z\,dz = 2\pi i \,\operatorname{Res}(\cot z;0).

Passo 8

Vamos calcular a resíduo de \cot z em z=0. Para um polo simples em z=0, a fórmula prática é
\operatorname{Res}(\cot z;0) = \lim_{z\to 0} z\cot z.
Calculamos esse limite passo a passo. Usando \cot z = \dfrac{\cos z}{\sin z},
\lim_{z\to 0} z\cot z = \lim_{z\to 0} \frac{z\cos z}{\sin z}.
Agora usamos o limite clássico \lim_{z\to 0}\dfrac{\sin z}{z}=1. Reescrevendo,
\frac{z\cos z}{\sin z} = \frac{\cos z}{\sin z / z}.
Ao tomar z\to 0 obtemos
\lim_{z\to 0}\frac{\cos z}{\sin z / z} = \frac{\cos 0}{1} = 1.
Portanto
\operatorname{Res}(\cot z;0) = 1.
(Observação didática: alternativamente, pode-se lembrar a expansão de Laurent \cot z = \dfrac{1}{z} - \dfrac{z}{3} - \dfrac{z^{3}}{45} -\cdots, de onde fica claro que o coeficiente de 1/z é 1.)

Passo 9

Substituindo a resíduo na fórmula dos resíduos, obtemos
\int_{C} \cot z\,dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i.
Isso mostra explicitamente que a integral sobre o círculo unitário não é zero.

Resposta

Não — não se pode aplicar Cauchy–Goursat porque \cot z tem um polo simples em z=0 dentro do círculo |z|=1.
\displaystyle \int_{C}\cot z\,dz = 2\pi i.

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