Para cada uma das funções abaixo, faça uma análise das possíveis singularidades, de forma a determina se é possível usar o teorema de Cauchy-Goursat para determinar que, sobre o círculo unitário, quad|z|=1, a integral
\int_{C} f(z) d z=0 .
quad f(z)=\operatorname{sech}(z).
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se, para a função \operatorname{sech}(z), vale
\int_{C} f(z)\,dz = 0
onde C é o círculo unitário \{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}. Informações dadas que vamos usar: a função é f(z)=\operatorname{sech}(z). Não há outras figuras ou dados; a pergunta exige analisar possíveis singularidades de f no interior e sobre o contorno |z|=1 para decidir se podemos aplicar o teorema que zera integrais de funções holomorfas (Cauchy–Goursat).
Passo 2
Entender o que é \operatorname{sech}(z) e onde ela pode falhar (singularidades). Definição útil:
Logo, singularidades de \operatorname{sech}(z) ocorrem exatamente onde \operatorname{cosh}(z)=0 (porque aí estamos dividindo por zero). Portanto a primeira tarefa técnica em prova é resolver \operatorname{cosh}(z)=0.
Passo 3
Resolver \operatorname{cosh}(z)=0. Parto da equação:
Agora escrevemos as soluções de e^{2z}=-1. Sabemos que -1=e^{i\pi(2k+1)} para k\in\mathbb{Z}. Assim
2z = i(2k+1)\pi \quad\Longrightarrow\quad z = i\frac{(2k+1)\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto os zeros de \operatorname{cosh}(z) (e, consequentemente, as singularidades de \operatorname{sech}(z)) são os pontos
z_k = i\frac{(2k+1)\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Passo 4
Determinar a posição desses pontos relativos ao disco unitário \{ |z|<1\} e ao contorno |z|=1. Observação prática: todos os z_k são puramente imaginários. O módulo de z_k é
Logo mesmo o zero de \operatorname{cosh} mais próximo da origem tem módulo maior que 1. Para qualquer outro k o valor absoluto é ainda maior. Conclusão: nenhum z_k satisfaz |z_k|\le 1. Em particular não há singularidade nem no interior nem sobre o círculo |z|=1.
Passo 5
Classificar as singularidades (curiosidade útil para a prova): cada zero de \operatorname{cosh} é simples, o que implica que cada singularidade de \operatorname{sech} é um polo simples. Para ver que os zeros são simples, verificamos a derivada:
Como a derivada não anula, os zeros são simples. Isso reforça que as singularidades são polos simples, mas como vimos elas ficam fora do disco |z|\le1.
Passo 6
Concluir sobre a aplicabilidade do teorema de Cauchy–Goursat. Lembrete prático (o que você deve lembrar na prova): o teorema de Cauchy–Goursat afirma que se uma função é holomorfa (analítica) em um domínio simplesmente conexo que contém o contorno C e seu interior, então
\int_{C} f(z)\,dz = 0.
O disco fechado \{ |z|\le1\} é simplesmente conexo. Como mostramos, \operatorname{sech}(z) não tem singularidades em \{ |z|\le1\}; portanto \operatorname{sech}(z) é holomorfa em uma vizinhança que contém o disco fechado e o contorno |z|=1. Assim todas as hipóteses do teorema estão satisfeitas, e podemos concluir que a integral vale zero.