Para cada uma das funções abaixo, faça uma análise das possíveis singularidades, de forma a determina se é possível usar o teorema de Cauchy-Goursat para determinar que, sobre o círculo unitário, quad|z|=1, a integral
\int_{C} f(z) d z=0 .
quad f(z)=\operatorname{sech}(z).

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se, para a função \operatorname{sech}(z), vale
\int_{C} f(z)\,dz = 0
onde C é o círculo unitário \{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}. Informações dadas que vamos usar: a função é f(z)=\operatorname{sech}(z). Não há outras figuras ou dados; a pergunta exige analisar possíveis singularidades de f no interior e sobre o contorno |z|=1 para decidir se podemos aplicar o teorema que zera integrais de funções holomorfas (Cauchy–Goursat).

Passo 2

Entender o que é \operatorname{sech}(z) e onde ela pode falhar (singularidades). Definição útil:
\operatorname{sech}(z)=\frac{1}{\operatorname{cosh}(z)},
onde
\operatorname{cosh}(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}.
Logo, singularidades de \operatorname{sech}(z) ocorrem exatamente onde \operatorname{cosh}(z)=0 (porque aí estamos dividindo por zero). Portanto a primeira tarefa técnica em prova é resolver \operatorname{cosh}(z)=0.

Passo 3

Resolver \operatorname{cosh}(z)=0. Parto da equação:
\operatorname{cosh}(z)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{e^{z}+e^{-z}}{2}=0
o que dá
e^{2z}=-1.
Agora escrevemos as soluções de e^{2z}=-1. Sabemos que -1=e^{i\pi(2k+1)} para k\in\mathbb{Z}. Assim
2z = i(2k+1)\pi \quad\Longrightarrow\quad z = i\frac{(2k+1)\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto os zeros de \operatorname{cosh}(z) (e, consequentemente, as singularidades de \operatorname{sech}(z)) são os pontos
z_k = i\frac{(2k+1)\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Determinar a posição desses pontos relativos ao disco unitário \{ |z|<1\} e ao contorno |z|=1. Observação prática: todos os z_k são puramente imaginários. O módulo de z_k é
|z_k| = \left|\;i\frac{(2k+1)\pi}{2}\right| = \frac{(2k+1)\pi}{2}.
Para k=0 obtemos o mais próximo da origem:
|z_0| = \frac{\pi}{2}\approx 1{,}5708.
Logo mesmo o zero de \operatorname{cosh} mais próximo da origem tem módulo maior que 1. Para qualquer outro k o valor absoluto é ainda maior. Conclusão: nenhum z_k satisfaz |z_k|\le 1. Em particular não há singularidade nem no interior nem sobre o círculo |z|=1.

Passo 5

Classificar as singularidades (curiosidade útil para a prova): cada zero de \operatorname{cosh} é simples, o que implica que cada singularidade de \operatorname{sech} é um polo simples. Para ver que os zeros são simples, verificamos a derivada:
\operatorname{cosh}'(z)=\operatorname{sinh}(z).
Em z_k=i\frac{(2k+1)\pi}{2} temos
\operatorname{sinh}\!\bigl(z_k\bigr)=\operatorname{sinh}\!\Bigl(i\frac{(2k+1)\pi}{2}\Bigr)=i\sin\!\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2}\Bigr)=i(-1)^k\neq 0.
Como a derivada não anula, os zeros são simples. Isso reforça que as singularidades são polos simples, mas como vimos elas ficam fora do disco |z|\le1.

Passo 6

Concluir sobre a aplicabilidade do teorema de Cauchy–Goursat. Lembrete prático (o que você deve lembrar na prova): o teorema de Cauchy–Goursat afirma que se uma função é holomorfa (analítica) em um domínio simplesmente conexo que contém o contorno C e seu interior, então
\int_{C} f(z)\,dz = 0.
O disco fechado \{ |z|\le1\} é simplesmente conexo. Como mostramos, \operatorname{sech}(z) não tem singularidades em \{ |z|\le1\}; portanto \operatorname{sech}(z) é holomorfa em uma vizinhança que contém o disco fechado e o contorno |z|=1. Assim todas as hipóteses do teorema estão satisfeitas, e podemos concluir que a integral vale zero.

Resposta

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