Considere uma curva fechada simples (é uma curva fechada que não intersecta a si mesma) qualquer
no plano
, com a condição de que ela não passe pelo ponto
. Mostre que
nos seguintes casos:
(a) Se o interior da curva não contém a origem
.
(b) Se o interior da curva contém a origem
. Neste caso, poderá usar o teorema de Cauchy-Goursat para deforma a curva até que ela coincida com o círculo unitário, sem que isto mude o valor da integral.
(a) Se o interior da curva não contém a origem
(b) Se o interior da curva contém a origem
Passo 1
O enunciado dá uma curva fechada simples
no plano complexo que não passa pelo ponto
. Pede-se para mostrar que
em dois casos distintos:
(a) o interior da curva não contém a origem ;
(b) o interior da curva contém a origem — neste caso é permitido deformar
até o círculo unitário sem alterar a integral, usando o teorema de Cauchy–Goursat.
(a) o interior da curva não contém a origem
(b) o interior da curva contém a origem
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é uma curva fechada simples (logo pelo teorema de Jordan ela tem um interior bem definido e esse interior é simplesmente conectado). -
não passa por . - A função a integrar é
, que tem singularidade isolada em e é holomorfa em . - Objetivo: provar que a integral sobre
vale nos dois casos.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática):
- Função holomorfa: dizemos que
é holomorfa num domínio se tem derivada complexa em todo ponto desse domínio. Uma consequência importante: se tem uma primitiva (ou seja, para todo do domínio), então a integral de ao longo de qualquer curva fechada dentro do domínio é (princípio fundamental do cálculo complexo). - Teorema de Cauchy–Goursat (versão útil aqui): se
é holomorfa em uma região que contém uma curva fechada simples e seu interior, então . - Deformação de curvas (homotopia): se
é holomorfa em toda a região “entre” duas curvas fechadas e e podemos deformar continuamente em sem sair dessa região, então as integrais sobre e são iguais. Em particular, se podemos deformar até o círculo unitário mantendo sempre a região de definição de , as integrais coincidem. - Antiderivada explícita: observar que a função
satisfaz
sempre que
. Ou seja,
tem a primitiva
em qualquer domínio que não contenha
.
Vou usar essas ideias passo a passo para resolver (a) e (b). Sempre que eu usar uma fórmula, explico o significado:
é a derivada complexa de
em
;
indica diferencial complexo ao parametrizar a curva.
Passo 3
Argumento:
- Pelo enunciado,
não passa por e, neste caso (a), o interior de também não contém . - Pelo teorema de Jordan, o interior de
é um domínio simplesmente conectado; em particular, a região formada por juntamente com seu interior é um domínio onde é holomorfa (pois a única singularidade, , fica fora). - Como
é holomorfa nessa região e como exibimos a primitiva explícita válida em qualquer ponto com , concluímos que tem primitiva no interior de unido a . - Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais complexas (ou diretamente por Cauchy–Goursat), a integral de uma função com primitiva ao longo de uma curva fechada é
. Assim
Comentário intuitivo: como existe uma antiderivada contínua em todo o interior (e na curva), a integral ao redor fecha-se (valor final menos valor inicial) e dá zero.
Passo 4
Situação: agora o interior de
contém
. Não podemos usar diretamente a primitiva global
em toda a região interior porque essa primitiva não é definida em
. Assim precisamos de outro argumento. A estratégia sugerida é deformar
continuamente até o círculo unitário
sem passar por
; se isso for possível mantendo a função holomorfa na região entre as curvas, então as integrais coincidem. Vou explicar por que isso é legítimo e depois calcular a integral no círculo unitário explicitamente.
Observação técnica: a função
é holomorfa em
. Se conseguirmos um homotopia entre
e o círculo unitário que permaneça em
(ou seja, todas as curvas intermediárias não cruzem
), então a integral não muda durante a deformação (aplicando Cauchy–Goursat na região anular entre
e o círculo unitário, onde a função é holomorfa). Como
e o círculo unitário são curvas simples que envolvem
, tal deformação é possível sem tocar
: basta contrair ou expandir radialmente a curva mantendo-a ao redor do
. Portanto as hipóteses para aplicar a deformação estão satisfeitas.
Passo 5
- Pelo raciocínio do passo anterior, podemos deformar
continuamente até o círculo unitário sem atravessar , e a integral permanece inalterada. Logo
- Agora calculamos a integral no círculo unitário por parametrização. Parametrizamos o círculo unitário por
Então
Substituindo na integral,
- Calcule a integral real:
Note que
. Assim a expressão entre parênteses é
, logo a integral vale
.
4. Conclusão para o caso (b):
4. Conclusão para o caso (b):
Passo 6
- Uma outra maneira (mais curta) seria usar a fórmula dos resíduos: a integral sobre uma curva fechada de
é vezes o resíduo de em . Como a série de Laurent de em é , o coeficiente de (isto é, o resíduo) é , portanto a integral é . Mas no enunciado pediu explicitamente uso do teorema de Cauchy–Goursat/deformação, então segui esse caminho. - Intuição: embora
tenha uma singularidade em , é uma singularidade tal que não “gera” um termo na expansão — por isso ao rodear o efeito líquido cancela e a integral é zero.
Resposta
(a)
(b)
(b)