Considere uma curva fechada simples (é uma curva fechada que não intersecta a si mesma) qualquer C no plano (x, y), com a condição de que ela não passe pelo ponto z=0. Mostre que
\int_{C} \frac{d z}{z^{2}}=0
nos seguintes casos:
(a) Se o interior da curva não contém a origem z=0.
(b) Se o interior da curva contém a origem z=0. Neste caso, poderá usar o teorema de Cauchy-Goursat para deforma a curva até que ela coincida com o círculo unitário, sem que isto mude o valor da integral.

Passo 1

O enunciado dá uma curva fechada simples C no plano complexo que não passa pelo ponto z=0. Pede-se para mostrar que
\int_{C} \frac{dz}{z^{2}}=0
em dois casos distintos:
(a) o interior da curva não contém a origem z=0;
(b) o interior da curva contém a origem z=0 — neste caso é permitido deformar C até o círculo unitário sem alterar a integral, usando o teorema de Cauchy–Goursat.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • C é uma curva fechada simples (logo pelo teorema de Jordan ela tem um interior bem definido e esse interior é simplesmente conectado).
  • C não passa por z=0.
  • A função a integrar é f(z)=\dfrac{1}{z^{2}}, que tem singularidade isolada em z=0 e é holomorfa em \mathbb{C}\setminus\{0\}.
  • Objetivo: provar que a integral sobre C vale 0 nos dois casos.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Função holomorfa: dizemos que f é holomorfa num domínio se tem derivada complexa em todo ponto desse domínio. Uma consequência importante: se f tem uma primitiva F (ou seja, F'(z)=f(z) para todo z do domínio), então a integral de f ao longo de qualquer curva fechada dentro do domínio é 0 (princípio fundamental do cálculo complexo).
  • Teorema de Cauchy–Goursat (versão útil aqui): se f é holomorfa em uma região que contém uma curva fechada simples C e seu interior, então \displaystyle\int_{C} f(z)\,dz=0.
  • Deformação de curvas (homotopia): se f é holomorfa em toda a região “entre” duas curvas fechadas C_1 e C_2 e podemos deformar C_1 continuamente em C_2 sem sair dessa região, então as integrais sobre C_1 e C_2 são iguais. Em particular, se podemos deformar C até o círculo unitário mantendo sempre a região de definição de f, as integrais coincidem.
  • Antiderivada explícita: observar que a função
F(z)=-\frac{1}{z}
satisfaz
F'(z)=\frac{d}{dz}\!\left(-\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{z^{2}},
sempre que z\neq 0. Ou seja, \dfrac{1}{z^{2}} tem a primitiva -\dfrac{1}{z} em qualquer domínio que não contenha 0.
Vou usar essas ideias passo a passo para resolver (a) e (b). Sempre que eu usar uma fórmula, explico o significado: F'(z) é a derivada complexa de F em z; dz indica diferencial complexo ao parametrizar a curva.

Passo 3

Argumento:
  1. Pelo enunciado, C não passa por 0 e, neste caso (a), o interior de C também não contém 0.
  2. Pelo teorema de Jordan, o interior de C é um domínio simplesmente conectado; em particular, a região formada por C juntamente com seu interior é um domínio onde z\mapsto \dfrac{1}{z^{2}} é holomorfa (pois a única singularidade, 0, fica fora).
  3. Como \dfrac{1}{z^{2}} é holomorfa nessa região e como exibimos a primitiva explícita F(z)=-\dfrac{1}{z} válida em qualquer ponto com z\neq 0, concluímos que \dfrac{1}{z^{2}} tem primitiva no interior de C unido a C.
  4. Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais complexas (ou diretamente por Cauchy–Goursat), a integral de uma função com primitiva ao longo de uma curva fechada é 0. Assim
\int_{C}\frac{dz}{z^{2}}=0.
Comentário intuitivo: como existe uma antiderivada contínua em todo o interior (e na curva), a integral ao redor fecha-se (valor final menos valor inicial) e dá zero.

Passo 4

Situação: agora o interior de C contém 0. Não podemos usar diretamente a primitiva global F(z)=-\dfrac{1}{z} em toda a região interior porque essa primitiva não é definida em 0. Assim precisamos de outro argumento. A estratégia sugerida é deformar C continuamente até o círculo unitário \{\,|z|=1\,\} sem passar por 0; se isso for possível mantendo a função holomorfa na região entre as curvas, então as integrais coincidem. Vou explicar por que isso é legítimo e depois calcular a integral no círculo unitário explicitamente.
Observação técnica: a função \dfrac{1}{z^{2}} é holomorfa em \mathbb{C}\setminus\{0\}. Se conseguirmos um homotopia entre C e o círculo unitário que permaneça em \mathbb{C}\setminus\{0\} (ou seja, todas as curvas intermediárias não cruzem 0), então a integral não muda durante a deformação (aplicando Cauchy–Goursat na região anular entre C e o círculo unitário, onde a função é holomorfa). Como C e o círculo unitário são curvas simples que envolvem 0, tal deformação é possível sem tocar 0: basta contrair ou expandir radialmente a curva mantendo-a ao redor do 0. Portanto as hipóteses para aplicar a deformação estão satisfeitas.

Passo 5

  1. Pelo raciocínio do passo anterior, podemos deformar C continuamente até o círculo unitário \{z:|z|=1\} sem atravessar 0, e a integral permanece inalterada. Logo
\int_{C}\frac{dz}{z^{2}}=\int_{|z|=1}\frac{dz}{z^{2}}.
  1. Agora calculamos a integral no círculo unitário por parametrização. Parametrizamos o círculo unitário por
z(t)=e^{it},\qquad 0\le t\le 2\pi.
Então
dz = i e^{it}\,dt.
Substituindo na integral,
\int_{|z|=1}\frac{dz}{z^{2}} = \int_{0}^{2\pi}\frac{i e^{it}\,dt}{(e^{it})^{2}} = \int_{0}^{2\pi} i e^{-it}\,dt.
  1. Calcule a integral real:
\int_{0}^{2\pi} i e^{-it}\,dt = i\left[\frac{e^{-it}}{-i}\right]_{0}^{2\pi} = i\cdot\left(-\frac{1}{i}\right)\left(e^{-i2\pi}-e^{0}\right).
Note que e^{-i2\pi}=1. Assim a expressão entre parênteses é 1-1=0, logo a integral vale 0.
4. Conclusão para o caso (b):
\int_{C}\frac{dz}{z^{2}}=0.

Passo 6

  • Uma outra maneira (mais curta) seria usar a fórmula dos resíduos: a integral sobre uma curva fechada de f(z)=\dfrac{1}{z^{2}} é 2\pi i vezes o resíduo de f em 0. Como a série de Laurent de f em 0 é z^{-2}, o coeficiente de z^{-1} (isto é, o resíduo) é 0, portanto a integral é 0. Mas no enunciado pediu explicitamente uso do teorema de Cauchy–Goursat/deformação, então segui esse caminho.
  • Intuição: embora f tenha uma singularidade em 0, é uma singularidade tal que não “gera” um termo 1/z na expansão — por isso ao rodear 0 o efeito líquido cancela e a integral é zero.

Resposta

(a) 0
(b) 0

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