Para cada uma das funções abaixo, pede-se: (i) gráfico; (ii) domínio; (iii) imagem; e (iv) classificação em constante, crescente ou decrescente. Se necessário utilize a notação de intervalos:
Passo 1
Beleza, você quer analisar a função $ f(x) = \frac{1}{x} $. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções como domínio, imagem, gráfico e se a função é crescente, decrescente ou constante. Vamos por partes!
Passo 2
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de $ f(x) = \frac{1}{x} $, temos que o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não é permitida. Então, $ x \neq 0 $.
Em notação de intervalos, o domínio é:
Passo 3
Imagem: A imagem é o conjunto de todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Como $ x $ pode ser qualquer número real exceto zero, $ \frac{1}{x} $ também pode assumir qualquer número real exceto zero.
Então, a imagem é:
Passo 4
Gráfico: O gráfico de $ f(x) = \frac{1}{x} $ é uma hipérbole com dois ramos. Um ramo está no primeiro quadrante (onde $ x > 0 $ e $ f(x) > 0 $) e o outro no terceiro quadrante (onde $ x < 0 $ e $ f(x) < 0 $). As assíntotas são os eixos $ x = 0 $ e $ y = 0 $, que são linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca.
Passo 5
Classificação (Crescente, Decrescente ou Constante): Vamos ver como a função se comporta:
- Para $ x > 0 $: Conforme $ x $ aumenta, $ \frac{1}{x} $ diminui. Então, a função é decrescente nesse intervalo.
- Para $ x < 0 $: Conforme $ x $ aumenta (ou seja, se aproxima de zero a partir de valores negativos), $ \frac{1}{x} $ também aumenta (fica menos negativo). Novamente, a função é decrescente nesse intervalo.
A função nunca é constante e está sempre diminuindo nos seus intervalos de definição.
Resposta
(i) Gráfico: Uma hipérbole com ramos no primeiro e terceiro quadrantes, com assíntotas nos eixos $ x = 0 $ e $ y = 0 $.
(ii) Domínio: $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $
(iii) Imagem: $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $
(iv) Classificação: Função decrescente em todos os seus intervalos de definição.