Para cada uma das funções abaixo, pede-se: (i) gráfico; (ii) domínio; (iii) imagem; e (iv) classificação em constante, crescente ou decrescente. Se necessário utilize a notação de intervalos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função $ h(x) = x^3 + 1 $. A gente vai precisar entender um pouco de gráficos de funções, domínio, imagem e como identificar se a função é constante, crescente ou decrescente. Então, vamos por partes para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o gráfico da função $ h(x) = x^3 + 1 $. Sabemos que $ x^3 $ é uma função polinomial de terceiro grau, cujo gráfico é uma curva chamada de “cúbito”. Esse tipo de gráfico tem uma parte que desce para a esquerda e outra que sobe para a direita, passando pela origem se não tiver um termo constante. No nosso caso, temos “+1”, então o gráfico vai subir um pouquinho.
Passo 3
Agora, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ que podemos colocar na função sem problemas. Como $ h(x) = x^3 + 1 $ é um polinômio, não tem restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é todos os números reais, que escrevemos assim:
Passo 4
Seguimos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de $ h(x) $. Como a função $ x^3 $ pode assumir qualquer valor real, ao somar 1, ainda podemos alcançar todos os números reais. Logo, a imagem também é:
Passo 5
Por último, vamos classificar a função como constante, crescente ou decrescente. A função $ h(x) = x^3 + 1 $ tem um gráfico que sempre sobe conforme $ x $ aumenta. Isso porque o coeficiente de $ x^3 $ é positivo. Então, a função é crescente em todo o seu domínio.
Resposta
Para a função $ h(x) = x^3 + 1 $:
- O gráfico é uma curva cúbica que sobe da esquerda para a direita, deslocada 1 unidade para cima.
- Domínio: $ (-\infty, +\infty) $
- Imagem: $ (-\infty, +\infty) $
- A função é crescente em todo o seu domínio.