Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe \lim _{x \rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}. f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^{2} & \text { se } & x \leq 1 \\\\ 2 x-1 & \text { se } & x>1\end{array} \quad p=1\right. Passo 1O enunciado nos dá f(x)=\begin{cases} x^{2},&x\le1,\\\\ 2x-1,&x>1 \end{cases} e pede para verificar se existe \displaystyle \lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p} em p=1. Esse limite é justamente a definição de derivada de f em x=1. Passo 2Calculamos o valor de f em p=1. Como a primeira regra vale para x\le1, temos f(1)=1^{2}=1. Passo 3Avaliamo o limite pela esquerda: \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to1^-}\frac{x^{2}-1}{x-1}. Fatorando o numerador, x^{2}-1=(x-1)(x+1), logo, para x\neq1, \frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1 e \lim_{x\to1^-}(x+1)=2. Passo 4Avaliamo o limite pela direita: \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{2x-1-1}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{2x-2}{x-1}. Fatorando, 2x-2=2(x-1), logo, para x\neq1, \frac{2x-2}{x-1}=2 e \lim_{x\to1^+}2=2. Passo 5Como os limites laterais coincidem e valem 2, o limite \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} existe e é igual a 2. RespostaExiste e vale 2. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule, caso existam, os limites a seguir. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}} Calcule, caso existam, os limites a seguir. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}} Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe \lim _{x \rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}. f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^{2} & \text { se } & x \leq 1 \\\\ 2 x-1 & \text { se } & x>1\end{array} \quad p=1\right. Calcule. \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}