Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe \lim _{x \rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^{2} & \text { se } & x \leq 1 \\\\ 2 x-1 & \text { se } & x>1\end{array} \quad p=1\right.

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=\begin{cases} x^{2},&x\le1,\\\\ 2x-1,&x>1 \end{cases}
e pede para verificar se existe \displaystyle \lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}
em p=1. Esse limite é justamente a definição de derivada de f em x=1.

Passo 2

Calculamos o valor de f em p=1. Como a primeira regra vale para x\le1, temos
f(1)=1^{2}=1.

Passo 3

Avaliamo o limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to1^-}\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Fatorando o numerador,
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
logo, para x\neq1,
\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1
e
\lim_{x\to1^-}(x+1)=2.

Passo 4

Avaliamo o limite pela direita:
\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{2x-1-1}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{2x-2}{x-1}.
Fatorando,
2x-2=2(x-1),
logo, para x\neq1,
\frac{2x-2}{x-1}=2
e
\lim_{x\to1^+}2=2.

Passo 5

Como os limites laterais coincidem e valem 2, o limite \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
existe e é igual a 2.

Resposta

Existe e vale 2.

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