Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}}.
Perceba que, para x\to0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, gerando a forma indeterminada 0/0. Vamos usar racionalização de radicais para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por seu conjugado:
\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} =\frac{\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}\bigr)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\bigr)} {\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}} =\frac{(x+1)-(1-x)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}} =\frac{2x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}.

Passo 3

De modo análogo, racionalizamos o denominador:
\sqrt{x+3}-\sqrt{3-x} =\frac{(x+3)-(3-x)}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}} =\frac{2x}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}}.

Passo 4

Substituindo essas expressões na razão original, temos
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}} =\frac{\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}} {\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}}} =\frac{\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}.

Passo 5

Agora podemos calcular o limite diretamente substituindo x=0:
\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}\bigl|_{x=0}=2\sqrt{3}, \quad \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\bigl|_{x=0}=2.
Logo,
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}} =\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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