Para cada uma das funções calcule f^{\prime}(x)
f(x)=\frac{\sin x+\cos x}{x+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sin x+\cos x}{x+\sqrt{x}}
e pede para calcular f'(x), a derivada de f. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é \sin x+\cos x.
  • O denominador é x+\sqrt{x}.
  • Como aparece \sqrt{x}, a função só pode ser tratada para x\ge 0, mas em x=0 o denominador vale 0 (pois 0+\sqrt{0}=0) e a função não está definida. Além disso, a derivada de \sqrt{x} em 0 é singular. Portanto consideraremos x>0, onde tudo é bem definido e diferenciável.
  • Pergunta a responder: calcular f'(x) para x>0.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra de forma clara: se temos duas funções \;u(x) e \;v(x) com v(x)\neq0, a derivada de \dfrac{u(x)}{v(x)} é dada por
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
O que isso quer dizer na prática: você deriva o numerador ( u'), multiplica pelo denominador ( v), subtrai o numerador original ( u) vezes a derivada do denominador ( v'), e divide pelo quadrado do denominador. É uma aplicação da regra do produto combinada com a derivada de v^{-1}. É uma fórmula que você deve memorizar e usar passo a passo.

Passo 3

Identificamos u e v:
u(x)=\sin x+\cos x,\qquad v(x)=x+\sqrt{x}.
Agora calculamos u'(x) e v'(x) com calma:
  • Derivadas trigonométricas básicas: (\sin x)'=\cos x e (\cos x)'=-\sin x. Portanto
u'(x)=\cos x-\sin x.
  • Para v(x)=x+\sqrt{x} usamos a regra da soma e a regra da potência para \sqrt{x}=x^{1/2}. A regra da potência diz que \dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}. Aplicando com n=\tfrac12,
(\sqrt{x})'=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Assim
v'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente com estes u,u',v,v':
f'(x)=\frac{(\cos x-\sin x)\,(x+\sqrt{x})-(\sin x+\cos x)\left(1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(x+\sqrt{x})^{2}}.
Esse já é um resultado correto e direto. Mas dá para simplificar um pouco para evitar frações dentro de frações, deixando a expressão mais prática para a prova.

Passo 5

Para simplificar, escrevemos v'(x)=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}. Substituindo na expressão do passo anterior e colocando tudo sobre um único denominador interno 2\sqrt{x}, obtemos
f'(x)=\frac{ \displaystyle 2\sqrt{x}\,(\cos x-\sin x)\,(x+\sqrt{x}) - (\sin x+\cos x)\,(2\sqrt{x}+1)}{ \displaystyle 2\sqrt{x}\,(x+\sqrt{x})^{2}}.
Aqui eu multipliquei numerador e denominador por 2\sqrt{x} apenas para limpar a fração interna; isso é legítimo porque 2\sqrt{x}\neq0 para x>0. Essa forma evita termos do tipo \dfrac{1}{2\sqrt{x}} espalhados e é mais prática para leitura/manipulação.

Passo 6

Comentário final e interpretação: a expressão do passo anterior é válida para x>0. Se quiser, dá para expandir o numerador em termos de \sin x e \cos x, mas isso geralmente deixa a expressão mais longa sem ganho prático. A forma com fator 2\sqrt{x} em evidência no denominador é compacta e adequada para a prova.

Resposta

f'(x)=\frac{2\sqrt{x}\,(\cos x-\sin x)\,(x+\sqrt{x})-(\sin x+\cos x)\,(2\sqrt{x}+1)}{2\sqrt{x}\,(x+\sqrt{x})^{2}}

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