Para cada uma das funções calcule f^{\prime}(x)
f(x)=(1+3 \tan x)(2+5 \cot x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(x) para a função
f(x)=(1+3\tan x)(2+5\cot x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é o produto de duas expressões: 1+3\tan x e 2+5\cot x.
  • Precisamos obter a derivada de f em termos de x.
  • Observação sobre domínio (importante para saber onde a derivada existe): \tan x não está definida quando \cos x=0 (ou seja, x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi) e \cot x não está definida quando \sin x=0 (ou seja, x=k\pi), com k\in\mathbb{Z}. Portanto, a expressão só faz sentido onde ambos estão definidos.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e intuitiva): temos um produto de duas funções; o método natural é usar a regra do produto. Além disso precisaremos das derivadas de \tan x e \cot x. Vou explicar a regra do produto e também mostrar por que \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x e \dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x, porque é importante saber de onde vêm essas fórmulas para não decorar no escuro.

Passo 3

Regra do quociente (vamos usá-la para derivar \tan e \cot). A regra do quociente diz que, se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
h^\prime(x)=\frac{u^\prime(x)\,v(x)-u(x)\,v^\prime(x)}{v(x)^2}.
Aqui u e v são funções de x; u^\prime e v^\prime são suas derivadas.

Passo 4

Derivando \tan x com a regra do quociente. Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, aplicamos a regra do quociente com u(x)=\sin x e v(x)=\cos x. Sabemos que \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x. Assim,
\frac{d}{dx}\tan x =\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(- \sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Explicação: usamos a identidade trigonométrica \sin^2 x+\cos^2 x=1.

Passo 5

Derivando \cot x com a regra do quociente. Como \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, aplicamos a regra do quociente com u(x)=\cos x e v(x)=\sin x. Derivadas conhecidas: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x e \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Então
\frac{d}{dx}\cot x =\frac{(-\sin x)(\sin x)-(\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x} =-\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x} =-\frac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x.
Novamente usei \sin^2 x+\cos^2 x=1.

Passo 6

Regra do produto e aplicação às partes da função. A regra do produto diz que, se f(x)=u(x)\,v(x), então
f^\prime(x)=u^\prime(x)\,v(x)+u(x)\,v^\prime(x).
Aqui tomo
u(x)=1+3\tan x,\qquad v(x)=2+5\cot x.
Calculando as derivadas das partes:
u^\prime(x)=0+3\frac{d}{dx}\tan x=3\operatorname{sec}^2 x,
v^\prime(x)=0+5\frac{d}{dx}\cot x=5(-\csc^2 x)=-5\csc^2 x.

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
f^\prime(x)=u^\prime(x)\,v(x)+u(x)\,v^\prime(x) =(3\operatorname{sec}^2 x)(2+5\cot x)+(1+3\tan x)(-5\csc^2 x).
Vou expandir para ver se simplifica:
f^\prime(x)=6\operatorname{sec}^2 x+15\operatorname{sec}^2 x\cot x-5\csc^2 x-15\tan x\,\csc^2 x.

Passo 8

Simplificação inteligente: escrever os termos em \sin e \cos para ver cancelamentos. Use as identidades \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, \csc^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}, \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}.
Calcule os termos mistos:
15\operatorname{sec}^2 x\cot x=15\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{15}{\cos x\,\sin x},
-15\tan x\,\csc^2 x=-15\cdot\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin^2 x}=-\frac{15}{\cos x\,\sin x}.
Esses dois termos são iguais com sinais opostos, portanto se cancelam. Restam então apenas os termos:
f^\prime(x)=6\operatorname{sec}^2 x-5\csc^2 x.

Passo 9

Interpretação final e domínio: a forma simplificada \,6\operatorname{sec}^2 x-5\csc^2 x é válida exatamente onde \tan x e \cot x (e, portanto, \operatorname{sec}^2 x e \csc^2 x) são definidos, ou seja, para todos x tais que \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0 (ou seja, x\neq k\pi e x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}). Boa! Fizemos a conta direitinho e até teve um cancelamento simpático — ótimo trabalho em seguir até aqui, respira fundo que tá indo bem!

Resposta

f^\prime(x)=6\operatorname{sec}^2 x-5\csc^2 x

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